Lemme de Kronecker

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Le lemme de Kronecker est un résultat d'analyse concernant les séries de nombres réels.

Sa forme la plus connue est la forme suivante, utilisée en particulier en probabilités dans une preuve classique de la loi des grands nombres :

Si la série de terme général \frac{x_n}{n} converge alors \frac1{n}\sum_{k=1}^n x_k tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Ce résultat admet une généralisation qui en rend la preuve assez naturelle:

Pour une série convergente de terme général un, et pour toute suite croissante de réels positifs (bn) divergeant vers l'infini, on a :

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{b_n} \sum_{k=1}^n b_ku_k=0

Preuve: On pose

S_n=\sum_{k=1}^n u_k

Une sommation d'Abel donne :

\frac1{b_n}\sum_{k=0}^n b_k u_k = S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k
=S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=0}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k
= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=0}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)s - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(S_k - s)
= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=0}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac{b_n-b_N}{b_n}s + \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(s - S_k)
= (S_n - s) - \frac1{b_n}\sum_{k=0}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k + \frac{b_N}{b_n}s + \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(s - S_k)

Quand n tend vers l'infini, le premier terme converge vers zéro car la suite (Sn) converge vers s. Le deuxième et le troisième termes tendent vers 0 car (bn) tend vers +\infty. Le dernier terme est positif et majoré par \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(s - S_N)=\frac1{b_n}(b_{n} - b_N)(s - S_N)\le s-S_N. Par conséquent, la limite supérieure de la suite (\frac1{b_n}\sum_{k=0}^n b_k u_k ) est majorée par s − SN pour tout N entier positif. En faisant tendre N vers l'infini, on obtient le résultat énoncé.

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