Lemme de Grönwall
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En mathématiques, le lemme de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall (1877-1932) qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous deux formes, intégrale et différentielle.
Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz.
Sommaire |
[modifier] Forme intégrale
Si, pour , et sont des fonctions continues qui vérifient :
pour , où K et L sont des constantes positives, alors :
pour
Le principe de démonstration est le suivant: il s'agit de voir qu'en t0, on a égalité entre les deux majorants, puis, en dérivant le rapport , voir que ce rapport est décroissant, ce qui prouve le résultat.
[modifier] Forme différentielle
Si la relation suivante est vérifiée :
Alors on a l'inégalité :
Ce qui permet de conclure que
pour