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[modifier] Du café dans les banlieues?

version principale: novembre 2005

Même si ce n'est sans doute pas la principale, une des questions qui émergeait des malheureux événements dans nos banlieues était : « comment des désordres qui ne sont pas a priori hors normes peuvent-ils se propager et ricocher jusqu'à engendrer un mouvement d'ensemble ? ».

Il s'avère que les mathématiciens se sont depuis longtemps penchés sur ce phénomène sous le nom de « Percolation ». Il a en effet longtemps été identifié à celui des chemins que prend l'eau dans une pierre poreuse. Le principe est assez simple : une pierre poreuse est percée d'une multitude de petites galeries qui peuvent laisser passer l'eau. Ces galeries tracées par le hasard géologiques peuvent être reliées ou non. Le volume occupé par les galeries divisé par le volume total de la pierre est une caractéristique de la porosité de la pierre (notons la p). Quelle est la probabilité qu'en plongeant cette pierre sous l'eau, toutes ces galeries soient immergées ? (i.e. que toutes ses galeries soient connectées). Plus exactement, on peut imaginer que la pierre est de taille infinie, et se demander quelle est la probabilité q qu'une section de galerie choisie au hasard appartienne à une galerie immergée et de taille infinie elle aussi ? Il s'agit de la question principale de la théorie de la percolation. On peut s'interroger sur la relation entre θ et d, en fonction de la dimension du problème : que devient-elle pour une « feuille poreuse », pour une pierre, ou bien pour un volume de dimension d supérieure à 3 ?

Allure de la relation entre θ q et p, elle n'a été démontrée que pour d=2 et d>18 [PER 00].

Le phénomène de percolation est très facile à comprendre, et à simuler informatiquement, en revanche il est plus difficile d'obtenir des résultats théoriques. Il s'agit d'une question qui intéresse beaucoup de monde, car elle a de nombreuses appliquations.

La formation de longues chaînes de polymères en chimie industrielle peut se formuler en terme de percolation d'une réaction chimique au sein d'une large cuve de molécules. La façon dont les forces se répartissent dans une structure métalliques : imaginez la structure de la tour Eiffel comme un immense labyrinthe dans lequel l'énergie se propage, tous les éléments de la structure sont-ils « touchés »?

Une des applications les plus récentes est la surveillance de réseaux terroristes [GAL 04]. Dans ce contexte, on considère que des groupes activistes sont répartis sur le globe et disposent de réseaux qui leur permettent plus ou moins de communiquer. Le globe terrestre est alors vu comme un milieu poreux au sein duquel se propagent les communications entre groupuscules. La problématique de la percolation revient à se demander sous quelles conditions les terroristes peuvent se synchroniser. Au delà de l'aspect formel, cette approche est utilisé par la CIA pour trouver des indicateurs de « forte probabilité qu'une zone soit critique pour un réseau terroriste », simplement en dénombrant leurs sympathisants dans une région. Voila donc encore un aspect de monde qui nous entoure sur lequel les mathématiques nous éclairent : il y a bien eu percolation en novembre au sein des banlieues. Sans aller jusqu'à parler de responsabilité, on peut se demander si cela était du à l'apparition de nouvelles sources de mal être ou de nouveaux canaux propageant l'insatisfaction de ville en ville ?

[modifier] Références

[modifier] Voir aussi

• Percolation