Utilisateur:Lacluses/Géométrie analytique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

< Utilisateur:Lacluses

Création le 20 janvier 2006

Cet article est un brouillon, situé dans l'espace personnel de Lacluses.

Il n'appartient pas à l'espace encyclopédique.

Sommaire

1 Introduction -Généralités
2 Vecteurs glissants, système de vecteur glissants .(torseur)
3 Plans et droites

[modifier] Introduction -Généralités

[modifier] La notion d'espace de la Géométrie

[modifier] Espace de la géométrie Euclidienne. Espace vectoriel associé par le choix d'une origine.

L'espace de la géométrie Euclidienne $E g e$ est l'ensemble des "points " étudiés en géométrie.
Une définition rigoureuse de cet ensemble est lié à un certain nombre de postulats dont le plus connu est le postulat d'Euclide d'autres sont implicitement contenu dans certaines notions admise intuitivement (point, droite,...), d'un autre point de vue, on peut donner une définition axiomatique rigoureuse de cet espace à partir de la théorie des Espace vectoriel
On a été amené dans cette géométrie à définir des vecteurs libres et leur ensemble $E v l$ est muni de deux lois.Somme vectorielle et multiplication par un réel, donnant à cet ensemble une structure d'espace vectoriel sur $\mathbb{N}$ ce qui justifie l'appellation de vecteur pour ces êtres mathématiques.Soit O un point quelconque fixe de l'espace. A tout point M de l'espace distinct de O ou non, on fait correspondre le vecteur libre noté $\vec{M_{/o}}$ dont un représentant est un vecteur lié $\vec{OM}$ Il est clair que l'on a établi ainsi une bijection entre les points de l'espace de la géométrie Euclidienne et l'ensemble $E v l$ .
Cette bijection n'étant bien entendu définie qu'une fois choisi le point O.
Voir:
Géométrie euclidienne
Vecteur

[modifier] Etude de $E v l$ . Base de dimension indépendante dans $E v l$

Etude faite dans le chapitre sur les espaces vectoriels (à vérifier)
Rappels
1°.La dim de $E v l = 3$
2°.Trois vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils sont parallèles à une mème direction de plan. Représentants coplanaire de mème origine.
3°.Deux vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils ont mème direction. Représentant colinéaire de mème origine.
4°.Une base est constituée par tout système de trois vecteurs non nuls et non paralèlles à une mème direction de plan.

Cas de la géométrie plane.

1°.Sous espace du précédent

2°.Dim = 2

3°.Une base est constituée par deux vecteurs non nuls et mon colinéaires.

voir:
Espace vectoriel
colinéarité

[modifier] Changement de base pour $E v l$ (ou changement d'axes en coordonnées cartésienne)

[modifier] Coordonnées homogènes, espace arquésien. (Girard Desargues)

[modifier] Point imaginaires

[modifier] Géométrie affine et géométrie métrique.

[modifier] Rappels importants

[modifier] Projections

[modifier] Cosinus directeur d'une direction

[modifier] Relation entre cosinus directeur et paramètre directeur.

[modifier] Changement d'axes en système orthonormé; matrice des neuf cosinus.

[modifier] Cas particulier de la géométrie plane

[modifier] Autres système de coordonnées.

[modifier] Coordonnées polaires(géométrie plane)

[modifier] Coordonnées cylindriques ou semi polaires.

[modifier] Coordonnées sphériques (espace).

[modifier] Courbes et surfaces, généralités

[modifier] Choix d'un système de coordonnées en vue d'une étude analytique.

[modifier] Généralités sur les courbes

[modifier] Généralités sur les surfaces

[modifier] Produit vectoriel, produit mixte.

[modifier] Produit vectoriel.

[modifier] Produit mixte.

[modifier] Vecteurs glissants, système de vecteur glissants .(torseur)

Dans ce chapitre les systèmes de référence sont tous orthonormés directs

[modifier] Moments et coordonnées d'un vecteur glissant.

[modifier] Rappels

Un glissant est une classe d'équivalence de l'ensemble des liés de l'espace suivant la relation d'équivalence: équipolence et même support.
Un glissant est parfaitement défini par la donnée de son support et d'un vecteur équipolent.(à condition que celui-çi ait la direction du support); un glissant est d'ailleur entièrement défini par la donnée d'un vecteur équipolent et d'un point du support.
Voir:
Relation d'équivalence

[modifier] Moment d'un glissant par rapport à un point O.

[modifier] Définition

Soit O un point fixe de l'espace et soit $\vec {AB}$ un lié de support (D).
Considérons $\vec {P} = \vec {OA}\wedge \vec{AB}$ (Produit vectoriel de deux vecteurs libres dont $\vec {OA}$ et $\vec {OB}$ sont des représentants.)
Soit M un point quelconque de la droite (D) et considérons

(1) $\vec {P'} = \vec {OM}\wedge \vec{AB} = (\vec {OA} + \vec {AM})\wedge\vec {AB} =\vec {OA}\wedge\vec {AB} +\vec{AM}\wedge\vec{AB} =\vec {P}$ .

(2) $\vec{AM}\wedge\vec{AB} =\vec0$ . car A, B, M alignés.

(1) et (2) donne:

(3) $\vec {P'} = \vec {OM}\wedge \vec{AB} = (\vec {OA} + \vec {AM})\wedge\vec {AB} =\vec {OA}\wedge\vec {AB} + \vec0=\vec{P}$

Conclusion:
$\vec{P}=\vec{P'}$ , $\vec{P}$ n'est pas modifié si l'on fait glisser $\vec{AB}$ sur son support (D).
On peut donc considérer $\vec{P}$ comme attaché non au vecteur lié $\vec{AB}$ mais au glissant $\vec {a}$ dont $\vec {AB}$ est un représentant.

On pose alors:

$\vec{P}= \overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a} =\vec{OM}\wedge\vec{a}$

$\vec{P}$ est donc le produit vectoriel de deux vecteurs libres dont $\vec{OM}$ et $\vec{a}$ sont des représentants.
On appelle ce vecteur "moment en O ou par rapport à O du glissant $\vec{a}$ ".

[modifier] Remarque

1°.On peut aussi poser : $\vec {P} = \vec {OA}\wedge \vec{OB}$ , car;

D'aprés la Relation de Chasles, nous pouvons écrire:

$\vec{P}=\vec {OA}\wedge(\vec {OA} + \vec {AB}) =\vec {OA}\wedge\vec {OA} + \vec {OA}\wedge\vec {AB}$

Mais

$\vec {OA}\wedge\vec {OA}=\vec0$

Donc

$\vec{P}=\vec {OA}\wedge\vec {AB}$

2°.Réciproquement la donnée de $\vec{P}= \overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ et d'un vecteur libre $\vec{a_l}=\vec{a}$ avec $\vec{a_l}\perp\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ détermine entièrement $\vec{a}$

En effet on doit avoir $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}\perp$ à $\vec{OM}$ si M est un point du support de $\vec{a}$ . Donc M est dans le plan $\perp$ en O à $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ Le support de $\vec{a}$ est donc dans ce plan, condition compatible avec la donnée de $\vec{a_l}$ puisque $\vec{a_l}\perp\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$

On doit avoir

$|\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o}\vec{a}| = |\vec{a_l}|\cdot d$ ce qui détermine $d$ de façon unique si $\vec{a}\ne\vec0$

D'ou deux supports possibles pour $\vec{a}$ , symétriques par rapport à O dans (P) le plan perpendiculaire en O de $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o}\vec{a}$
Le sens du vecteur $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o}\vec{a}$ permet de choisir parmi les deux, celui à retenir.

Si $|\vec{a_l}|=0$ , le problème est impossible si par hypothèse de départ du raisonnement : $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o}\vec{a}\ne\vec0$
Sinon: $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o}\vec{a}=\vec0$ ;Indétermination.
La solution est n'importe quel vecteur glissant
Les deux vecteurs $\vec{a_l}$ et : $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o}\vec{a}$ tel que : $\vec{a_l}\cdot\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o}\vec{a}=0$ (Produit scalaire) , sont appelés coordonnées vectorielles du glissant de $\vec{a}$ par rapport au point O.
On les représente usuellement avec origine en O , bien qu'ils soient libres pour marquer que le vecteur moment (tout au moins) est relatif au point O choisi.

(à suivre)

[modifier] Théorèmes relatifs au calcul des moments

[modifier] Théorème 1

Le moment de $\vec{a}$ (vecteur glissant) , par rapport à O' est égal à la somme de son moment par rapport à O et du moment par rapport à O' d'un vecteur équipolent dont le support passerait par O.

Soit: $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o'} \vec{a} =\vec {O'O}\wedge\vec {a} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ . (mème ordre O'....O)

Démonstration:
$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o'} \vec{a} =\vec{O'M}\wedge\vec{a}$
$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o'} \vec{a} =(\vec{O'O}+\vec{OM})\wedge\vec{a}$
$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o'} \vec{a} =\vec {O'O}\wedge\vec {a} +\vec{OM}\wedge\vec{a}$ .
$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o'} \vec{a} =\vec {O'O}\wedge\vec {a} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ .

[modifier] Théorème 2 dit de Varignon

Le moment en O de la somme de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme des moment en O de ces différents vecteurs.
$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} (\vec{a},\vec{b},\vec{c},....\vec{l}) =\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}+\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{b}+.....+\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{l}$

Démonstration.
Soient plusieurs vecteurs $\vec{a},\vec{b},\vec{c},....\vec{l}$ , le point M , point de concour de ces différents vecteurs, O un point de l'espace. Nous pouvons écrire:
$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} (\vec{a},\vec{b},\vec{c},....\vec{l}) =\vec {OM}\wedge(\vec {a},\vec{b},\vec{c},....\vec{l})$

$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} (\vec{a},\vec{b},\vec{c},....\vec{l}) =\vec {OM}\wedge\vec {a}+\vec {OM}\wedge\vec {b}+...+\vec {OM}\wedge\vec {l}$

On en déduit:

$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} (\vec{a},\vec{b},\vec{c},....\vec{l}) =\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}+\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{b}+.....+\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{l}$

[modifier] Moment d'un glissant par rapport à un axe orienté.

Soit $x' x$ un axe orienté et O un point fixe quelconque de $x' x$

Soit : $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$

Posons: $Y(O)=Proj_{/x'x}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ qui est grandeur réelle

Soit un point $O 1$ et donc :: $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o_1} \vec{a}$

Posont: $Y(O_1)=Proj_{/x'x}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o_1} \vec{a}$ qui est une grandeur réelle

nous savons que

$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o_1} \vec{a} =\vec {O_1O}\wedge\vec {a} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ .

$\vec {O_1O}\wedge\vec {a}$ (produit vectoriel) est un vecteur $\perp \vec{O_1O}$ et $\perp \vec{a}$

D'ou

$\vec {O_1O}\wedge\vec {a}$ (produit vectoriel) est un vecteur $\perp$ au plan formé par ces deux vecteurs. Ce vecteur est donc $\perp x'x$

$Proj_{/x'x}\vec {O_1O}\wedge\vec {a}=0$

Il résulte que $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ et : $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o_1} \vec{a}$ ont même projection sur $x' x$ et par suite $Y (O) = Y (O 1)$ .

Autrement dit $Y (O)$ est indépendant du choix du point O sur $x' x$ .

On pose alors

$\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a}=Proj_{/x'x}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ avec O point quelconque de

x' x

Cette grandeur réelle est appelée moment du glissant $\vec{a}$ par rapport à l'axe $x' x$

[modifier] Remarques importantes

[modifier] 1°.Remarque

$\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a}$ est un scalaire (réel) alors que $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ est un vecteur.

[modifier] 2°.Remarque

$\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a}=0\Leftrightarrow\vec{a} =\vec0$ ou $\vec{a}//\vec{x'x}$ ou $\vec{a}$ rencontre $\vec{x'x}$

[modifier] 3°.Remarque

Le théorème de Varignon s'établit ainsi: Le moment par rapport à $x' x$ de la somme de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme des moments par rapport à $x' x$ de ces différents vecteurs.

[modifier] 4°.Remarque

Si $\vec{a}=\vec{a_1}+ \vec{a_2}$ avec $\vec{a_1}\perp x'x$ et $\vec{a_2} // x'x$

D'après Varignon: $\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a}=\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a_1}+\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a_2}$

$\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a_2}=Proj_{/x'x}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a_2}$ avec O point quelconque de $x' x$

$Proj_{/x'x}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a_2}=0$ ...car $\vec{a_2} // x'x$

Conclusion:

Si : $\vec{a_1}\perp x'x$ et $\vec{a_2} // x'x$ alors $\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a}=0$

Le moment d'un vecteur par rapport à un axe est égal au moment de la projection de ce vecteur sur un plan $\perp$ à l'axe

Déterminant

(à suivre)

[modifier] Expression analytique; coordonnées scalaires d'un glissant.

Soit $\vec{a} = \begin{Bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{Bmatrix}$ les composantes de $\vec{a}$ qui sont aussi les composantes de $\vec{a_l}$ introduit çi-dessus.

Soit $M = \begin{Bmatrix} x \\ y \\ z \end{Bmatrix}$ les coordonnées de M , un point du support de $\vec{a}$

Le repère est orthonormé direct et O l'origine des coordonnées.

$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a} =\vec{OM}\wedge\vec{a}$

$\vec OM \wedge \vec a=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x & y & z \\ X & Y & Z \end{vmatrix}=(yZ-zY)\vec i+(zX-xZ)\vec j+(xY-yX)\vec k$

$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}= \begin{Bmatrix} L =(yZ-zY) \\ M =(zX-xZ)\\ N =(xY-yX) \end{Bmatrix}$

Compte tenu de la relation suivante: $\overline{\mathcal{M}_{/x'x} \vec{a}}=\overline{Proj_{/x'x}\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}}$

On remarque que $\ L, M, N$ peuvent s'exprimer comme suit:

$\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a} = \begin{Bmatrix} L =\mathcal{M}_{/ox} \vec{a} \\ M =\mathcal{M}_{/oy} \vec{a}\\ N =\mathcal{M}_{/oz} \vec{a} \end{Bmatrix}$

Les scalaires $\ X, Y, Z, L, M, N,$ sont appelés coordonnées scalaires du glissant $\vec{a}$

Ce sont les composates respectivement des vecteurs $\vec{a_l}$ et $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}$ qui constituent les coordonnées vectorielles du glissant par rapport à O.

Ces coordonnées sont liées par

$\vec{a_l}\cdot\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}=0 \Leftrightarrow\ LX+MY+NZ=0$

Six réels $\ X, Y, Z, L, M, N,$ peuvent donc toujours être considérés comme les coordonnées d'un glissant à condition quil vérifie la condition: $\ LX+MY+NZ=0$ .

[modifier] Remarques

[modifier] 1°.remarque: glissant nul

Glissant nul : $\ L=X=M=Y=N=Z=0$

[modifier] 2°.remarque: interprétation de la condition LX+MY+NZ=0

Interprétation de la condition: $\ LX+MY+NZ=0$

Considérons le système $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{/o} \vec{a}= \begin{Bmatrix} L =(yZ-zY) \\ M =(zX-xZ)\\ N =(xY-yX) \end{Bmatrix}$ ou $\ x, y, z$ sont les inconnues.

Nous avons donc un système de trois équation avec trois inconnus que l'on peut résoudre par la méthode de Cramer

$\begin{matrix} L =(+x0+yZ-zY) \\ M =(-xZ+y0+zX)\\ N =(+xY-yX+0Z) \end{matrix}$ Déterminant = $\Delta=\begin{vmatrix} 0 & Z & -Y \\ -Z & 0 & X \\ Y & -X & 0 \end{vmatrix}=0$

Système de Cramer de rang <3
Alors si $\ X, Y, Z$ non tous nuls, rang 2.(on peut tirer les déterminants d'ordre $2\ne0$ ).
Supposons par exemple $\ Z\ne 0$
On forme la caractéristique $\mathcal C$
$\ C=\begin{vmatrix} 0 & Z & L \\ -Z & 0 & M \\ Y & -X & N \end{vmatrix}$
$\ C=0 \Leftrightarrow LXZ+MYZ+NZ^2=0$
$Z\ne 0$
Division par $\ Z$ possible $\ LX+MY+NZ=0$ qui n'est autre que la condition (..) , indétermination d'ordre $\ n-2=1$ ;sinon impossibilité. (à revoir)

[modifier] 3°.remarque: moment /O' autre que l'origine O.

Cas ou l'on prend le moment par rapport à O', autre que l'origine O.

Soit $\ O' = \begin{Bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{Bmatrix}$ les coordonnées de $\ O'$

Soit $M = \begin{Bmatrix} x \\ y \\ z \end{Bmatrix}$ les coordonnées de $\ M$

Soit $\vec{a} = \begin{Bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{Bmatrix}$ les composantes de $\vec{a}$

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a}} =\vec{O'M}\wedge\vec{a}$

On peut écrire le pseudo-déterminant:

$\vec {O'M} \wedge \vec a=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x-x' & y-y' & z-z' \\ X & Y & Z \end{vmatrix}=[(y-y')Z-(z-z')Y]\vec i+[(z-z')X-(x-x')Z]\vec j+[(x-x')Y-(y-y')X]\vec k$

Qui permet de connaitre les composantes du vecteur moment $\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a}}$

$\begin{matrix} L' =[(y-y')Z-(z-z')Y] \\ M' =[(z-z')X-(x-x')Z]\\ N' =[(x-x')Y-(y-y'X] \end{matrix}$

On peut aussi utiliser la formule donnant $\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a}}$ en fonction de $\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a}}$ , il suffit d'ajouter les composantes de deux vecteurs figurant au second membre de la relation çi-dessous.

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a}} = \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a}}+ \vec{O'O}\wedge\vec{a}$

Qui peut s'écrire:

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a}} = \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a}}- \vec{OO'}\wedge\vec{a}$

$\vec {OO'} \wedge \vec a=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x'-x & y'-y & z'-z \\ X & Y & Z \end{vmatrix}=[(y'-y)Z-(z'-z)Y]\vec i+[(z'-z)X-(x'-x)Z]\vec j+[(x'-x)Y-(y'-y)X]\vec k$

Soit $O = \begin{Bmatrix} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \end{Bmatrix}$ les coordonnées de O ,origine.

$\vec {OO'} \wedge \vec a$ devient,en remplaçant $\ x, y, z$ par leur valeur $\ =0$ .

$\vec {OO'} \wedge \vec a=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x'-x & y'-y & z'-z \\ X & Y & Z \end{vmatrix}=[(y')Z-(z')Y]\vec i+[(z')X-(x')Z]\vec j+[(x')Y-(y')X]\vec k$

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a}} = \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a}}- \vec{OO'}\wedge\vec{a}$ a donc pour composantes:

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a}} = \begin{Bmatrix} L' \\ M' \\ N' \end{Bmatrix}$ $= \begin{Bmatrix} L \\ M \\ N \end{Bmatrix}$ $- \begin{Bmatrix} y'Z-z'Y \\ z'X-x'Z \\ x'Y-y'X \end{Bmatrix}$

[modifier] Système de glissant ou torseur, définitions et conséquences.

[modifier] Systèmes de glissants définitions.

Ensemble formé par un certain nombre de glissants supposé ,dans un premier temps, en nombre fini, soit $\ n$ .
Tel que : $\vec a_1, a_2,...a_n$ et soit $\ (S)$ un tel système.

"Résultante générale" du système
C'est un vecteur Libre défini par la relation vectorielle çi-dessous

$\vec R=a_1+a_2+...+a_n= \sum_{i=1}^n \vec a_i$

[modifier] Moment résultant en O du système.

C'est la somme des moments en $\ O$ des différents vecteurs du système.

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \ (S)}=\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a_1}}+\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a_2}}+...+\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a_n}}=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a_i}}$

S'il n'y apas d'ambiguité sur le système nous le noterons :| $\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o}}$ |.

Par définition:
C'est un vecteur libre, toutefois on conviendra de le considérer comme un vecteur lié d'origine $\ O$ , pour marquer qu'il est attaché au point $\ O$ .

[modifier] Coordonnées du système par rapport à un trièdre d'origine O.

[modifier] Coordonnées vectorielles d'un système de glissant

$\overrightarrow{\mathcal{R}}$ . Résultante du système de glissants

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o}}$ . Moment résultant

[modifier] Coordonnées scalaires d'un système de glissant

Au total, six composantes: trois composantes pour la résultante $\overrightarrow{\mathcal{R}}$ et trois composantes pour le moment / à un point $\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o}}$ .

$\overrightarrow{\mathcal{R}}= \begin{Bmatrix} X=\sum_{i=1}^n \ X_i \\ Y=\sum_{i=1}^n \ Y_i \\ Z=\sum_{i=1}^n \ Z_i \end{Bmatrix}$

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o}} = \begin{Bmatrix} L=\sum_{i=1}^n \ L_i \\ M=\sum_{i=1}^n \ M_i \\ N=\sum_{i=1}^n \ N_i \end{Bmatrix}$

[modifier] Remarque

$\ L, M, N,$ sont appellés moments résultants du système de glissants / aux axes $\ ox, oy, oz,$ respectivement: chacun est la somme des moments des différents vecteurs / à l'axe correspondant.

[modifier] Systèmes de glissants conséquences.

[modifier] Plusieurs systèmes de glissants

Si on constitue un système par la réunion de plusieurs autres, les moments et les résultantes générales s'ajoutent (résulte immédiatement de l'associativité de la somme vectorielle).

[modifier] Moments résultants du système en deux points différents de l'espace

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a_1}}= \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a_1}}+\vec {O'O}\wedge\vec {a_1}$ . (mème ordre O'....O)

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a_2}}= \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a_2}}+\vec {O'O}\wedge\vec {a_2}$ .

..........

$\underline{\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \vec{a_n}}= \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \vec{a_n}}+\vec {O'O}\wedge\vec {a_n}}$ .

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \ {(S)}}= \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \ {(S)}}+\vec {O'O}\wedge\vec {R}$ .

[modifier] Cas particulier du couple

Si pour un système $\ (S), \vec {R}=\vec0$ ,ceci implique :

$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} \ {(S)}}= \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} \ {(S)}}$ , quelque soient $\ O$ et $\ O'$ .

On peut alors nommer $\overrightarrow{\mathcal{M}}$ la valeur commune à tous les moments.

Si de plus $\overrightarrow{\mathcal{M}}\ne\vec0$ , le système est appelé un couple.

Le moment résultant peut dans ce cas être considéré comme libre puisqu'il ne dépend pas du point $\ O$

$\ (S) couple\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \vec{R}=\vec0 \\ \overrightarrow{\mathcal{M}}\ne\vec0 \end{Bmatrix}$

[modifier] Cas de deux vecteurs parallèles

Le système constitué par deux vecteurs de mème module strictement parallèles , opposés,en tant que vecteurs libres forment un couple

La réunion de plusieurs couples est un couple

Le moment est la somme des moments des différents couples (résultat immédiat d'après la définition).

[modifier] Invariants d'un système de glissants. Axe central.

[modifier] Invariants

[modifier] Invariant local.

supposons $\vec{OO'}//\vec{R}$
Alors $\vec {O'O}\wedge\vec{R}=\vec0$ , par définition ,( $\vec {O'O}\wedge\vec {R}=|OO'|.|R|.\sin\theta)$ avec $θ = 0$
$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} {S}} =\vec {O'O}\wedge\vec {R} + \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} {S}}$ .
Devient
$\overrightarrow{\mathcal{M}_{/o'} {S}} = \overrightarrow{\mathcal{M}_{/o} {S}}$ .
Théorème
Le moment résultant est invariant le long de toute $\ //$ à la résultante générale. (Invariant local).

[modifier] Invariant intégral

[modifier] Equiprojectivité.

[modifier] Axe central.(cas ou $\vec R = \vec 0$ )

[modifier] Systèmes équivalents, réduction d'un système

[modifier] Système équivalents

[modifier] Définition

[modifier] Propriété fondamentale.

[modifier] Réduction d'un système de glissant.

[modifier] Systèmes particuliers

[modifier] Système de vecteurs parallèles, centre des vecteurs parallèles.

[modifier] Plans et droites

Utilisateur:Lacluses/Géométrie analytique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Sommaire

[modifier] Introduction -Généralités

[modifier] La notion d'espace de la Géométrie

[modifier] Espace de la géométrie Euclidienne. Espace vectoriel associé par le choix d'une origine.

[modifier] Etude de Evl. Base de dimension indépendante dans Evl

[modifier] Changement de base pour Evl (ou changement d'axes en coordonnées cartésienne)

[modifier] Coordonnées homogènes, espace arquésien. (Girard Desargues)

[modifier] Point imaginaires

[modifier] Géométrie affine et géométrie métrique.

[modifier] Rappels importants

[modifier] Projections

[modifier] Cosinus directeur d'une direction

[modifier] Relation entre cosinus directeur et paramètre directeur.

[modifier] Changement d'axes en système orthonormé; matrice des neuf cosinus.

[modifier] Cas particulier de la géométrie plane

[modifier] Autres système de coordonnées.

[modifier] Coordonnées polaires(géométrie plane)

[modifier] Coordonnées cylindriques ou semi polaires.

[modifier] Coordonnées sphériques (espace).

[modifier] Courbes et surfaces, généralités

[modifier] Choix d'un système de coordonnées en vue d'une étude analytique.

[modifier] Généralités sur les courbes

[modifier] Généralités sur les surfaces

[modifier] Produit vectoriel, produit mixte.

[modifier] Produit vectoriel.

[modifier] Produit mixte.

[modifier] Vecteurs glissants, système de vecteur glissants .(torseur)

[modifier] Moments et coordonnées d'un vecteur glissant.

[modifier] Rappels

[modifier] Moment d'un glissant par rapport à un point O.

[modifier] Définition

[modifier] Remarque

[modifier] Théorèmes relatifs au calcul des moments

[modifier] Théorème 1

[modifier] Théorème 2 dit de Varignon

[modifier] Moment d'un glissant par rapport à un axe orienté.

[modifier] Remarques importantes

[modifier] 1°.Remarque

[modifier] 2°.Remarque

[modifier] 3°.Remarque

[modifier] 4°.Remarque

[modifier] Expression analytique; coordonnées scalaires d'un glissant.

[modifier] Remarques

[modifier] 1°.remarque: glissant nul

[modifier] 2°.remarque: interprétation de la condition LX+MY+NZ=0

[modifier] 3°.remarque: moment /O' autre que l'origine O.

[modifier] Système de glissant ou torseur, définitions et conséquences.

[modifier] Systèmes de glissants définitions.

[modifier] Moment résultant en O du système.

[modifier] Coordonnées du système par rapport à un trièdre d'origine O.

[modifier] Coordonnées vectorielles d'un système de glissant

[modifier] Coordonnées scalaires d'un système de glissant

[modifier] Remarque

[modifier] Systèmes de glissants conséquences.

[modifier] Plusieurs systèmes de glissants

[modifier] Moments résultants du système en deux points différents de l'espace

[modifier] Cas particulier du couple

[modifier] Cas de deux vecteurs parallèles

[modifier] Invariants d'un système de glissants. Axe central.

[modifier] Invariants

[modifier] Invariant local.

[modifier] Invariant intégral

[modifier] Equiprojectivité.

[modifier] Axe central.(cas ou )

[modifier] Systèmes équivalents, réduction d'un système

[modifier] Système équivalents

[modifier] Définition

[modifier] Propriété fondamentale.

[modifier] Réduction d'un système de glissant.

[modifier] Systèmes particuliers

[modifier] Système de vecteurs parallèles, centre des vecteurs parallèles.

[modifier] Plans et droites

Views

Navigation

Contribuer

Rechercher

[modifier] Etude de $E v l$ . Base de dimension indépendante dans $E v l$

[modifier] Changement de base pour $E v l$ (ou changement d'axes en coordonnées cartésienne)

[modifier] Axe central.(cas ou $\vec R = \vec 0$ )