Utilisateur:Ixnay/addition

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1 pomme + 2 pommes + 2 pommes = ?

L’addition est l'une des quatre opérations traditionnelles de l’arithmétique. L’addition consiste à ajouter les éléments (opérandes) d’un ensemble dénombrable d’au moins deux valeurs numériques, de façon à en obtenir le total, ou somme.

Additionner signifie ajouter en comptant. Le signe de l’addition est conventionnellement le symbole « + ». Par exemple, on peut lire 3 + 2 = 5 comme « trois plus deux font cinq » (ou égal cinq) ou « trois et deux font cinq ».

Pour une définition de l'addition des nombres entiers naturels, voir l'addition dans ℕ.

Sommaire

1 Etymologie
2 Historique
- 2.1 Boulier
- 2.2 Calculatrice
3 Propriétés
4 Techniques opératoires
- 4.1 Ordre de grandeur
- 4.2 Poser l'addition
5 Définition mathématique
- 5.1 La soustraction définie à partir de l’addition
- 5.2 Les autres notations
6 Sommes utiles
7 Sommes de Riemann
8 Voir aussi
- 8.1 Articles connexes
- 8.2 Lien externe

[modifier] Etymologie

[modifier] Historique

[modifier] Boulier

[modifier] Calculatrice

[modifier] Propriétés

[modifier] Commutativité

[modifier] Associativité

[modifier] Élément neutre

[modifier] Techniques opératoires

[modifier] Ordre de grandeur

[modifier] Poser l'addition

[modifier] Définition mathématique

Addition de deux vecteurs

Formellement, l'addition est une loi de composition interne, souvent notée +, définie sur un ensemble.

Dans le cas général, cette loi n’est ni commutative, ni associative, bien que ce soit le cas de l’opération arithmétique d’addition.

Lorsque l'addition est associative, pour tous éléments x, y, z :

(x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z ;

dans ce cas, les parenthèses deviennent inutiles, et quand nous additionnons un nombre fini d’éléments, la façon de regrouper les éléments n'influe pas sur le résultat final.

Si de plus l'opération arithmétique d'addition est commutative, l’ordre dans lequel nous plaçons les termes n'a pas d'importance non plus.

L’élément neutre pour l’addition de nombres est le nombre zéro (noté 0). Si vous ajoutez 0 à n'importe quel élément, vous obtenez ce même élément.

[modifier] La soustraction définie à partir de l’addition

Quand l’addition est associative, un élément x symétrisable admet un unique symétrique, appelé opposé et se note habituellement -x.

pour tous éléments x et y, y + (-x) se note y-x

Ajouter l’opposé d'un nombre à un autre revient à retrancher le nombre à ce dernier.

Ainsi lorsque tous les éléments sont symétrisables (ce qui n'est pas le cas des entiers naturels, par exemple), l’opération de soustraction peut se définir à partir de l'addition et de la notion d’opposé d'un nombre.

[modifier] Les autres notations

Lorsque nous additionnons plusieurs termes donnés individuellement, nous pouvons utiliser +. Ainsi, la somme de 1, 2, et 4 s'écrit 1 + 2 + 4 = 7.

Mais si nous considérons n éléments d'un ensemble notés $x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, x_n$ , alors la somme peut être écrite à l'aide de points de suspension pour marquer les termes manquants ou les parenthèses manquantes :

$(\cdots (x_1+ x_2)+ \cdots + x_{n-1})+ x_n$

ou plus simplement si + est associative

$x_1+ x_2+ \cdots + x_{n-1}+ x_n$

Par exemple, 1 + 2 +... + 99 + 100 désigne la somme des nombres naturels de 1 à 100.

Afin d’abréger les formules, les sommes peuvent être écrites à l'aide du symbole sigma (lettre majuscule grecque sigma). Considérons les éléments $x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \cdots, x_{n-1}, x_n$ , nous avons :

$\sum_{i=m}^n x_i = (\cdots((x_m + x_{m+1}) + x_{m+2}) + \cdots + x_{n-1}) + x_n$

Et si de plus + est associative nous pouvons supprimer les parenthèses:

$\sum_{i=m}^n x_i =x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + ... + x_{n-1}+ x_n$

Sous le symbole sigma, nous trouvons une variable muette i et une valeur de début m; au-dessus de sigma n représente la valeur de fin. Pour déterminer la somme, nous donnons successivement à i toutes les valeurs entières de m jusqu'à n et ajoutons au fur et à mesure le terme x_i correspondant.

Exemple :

$\sum_{i=2}^6 i^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 90$

Dans le cas particulier où m = n, la somme précédente est une somme d'un seul terme et est égale à x_m.

Si vous n'ajoutez aucun terme, alors la somme est nulle par convention, parce que zéro est l'élément neutre de l'addition. C'est ce que l'on appelle une somme vide. Ce cas dégénéré survient lorsque les valeurs de début et de fin du symbole sigma vérifient m > n.

Nous pouvons aussi considérer des sommes infinies de termes ; mais dans le cas des séries une telle somme correspond à une limite et la borne de fin est remplacée par le symbole $\infty$ . Cette notion est généralisée par les sommes de familles sommables.

[modifier] Sommes utiles

Les relations suivantes sont des identités :

$\sum_{i=1}^n i = { n(n+1) \over 2 }$

$\sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2$

$\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{i=0}^n i^3 = \left({ n(n+1) \over 2 }\right)^2$

$\sum_{i=0}^n k.i = {k.n(n+1) \over 2 }$ (somme d'une suite arithmétique)

pour x≠ 1, $\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ (voir séries géométriques)

pour |x|<1 $\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac{1}{1-x}$

$\sum_{i=0}^{n} {C_n^i} = 2^n$ (voir coefficient binomial)

$\sum_{i=0}^{n-1} {C_i^k} = {C_n^{k+1}}$

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)$ (voir Constante d'Euler-Mascheroni)

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}=:e^{z}$ , $z\in\mathbb{C}$

[modifier] Sommes de Riemann

$\lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\lim_{n\to \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n} \right)=\int_a^bf(x)dx$