Intégrale de Stieltjes

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L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées $f$ et $g$ définies sur un intervalle fermé $[a, b]$ , ainsi qu'une subdivision $a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n - 1 < x n = b$ de cet intervalle. Si la somme de Riemann

$\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i )\bigl(g(x_{i+1})-g(x_i)\bigr)$ ,

avec $ξ i \in [x i, x i+1]$ , tend vers un nombre fixe $S$ lorsque $max(x i+1 - x i)$ tend vers 0, alors $S$ est appelé l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction $f$ par rapport à $g$ , et on la dénote par

$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}g(x)$

ou, simplement, par

$\int_a^b f\,\mathrm{d}g$ .

Si les fonctions $f$ et $g$ possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas. Cependant, si $f$ est continue et $g' = d g / d x$ possède une intégrale de Riemann sur l'intervalle considéré, alors

$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}g(x)=\int_a^bf(x)g'(x)\,\mathrm{d}x$ .

Plus généralement, si $f$ est continue et $g$ à variations bornées, cette intégrale est bien définie.

[modifier] Œuvres

Recherches sur les fractions continues, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 8, No. 4, J1–J122, 1894.

[modifier] Bibliographie

(en) H. Jeffreys & B.S. Jeffreys (1988). Integration: Riemann, Stieltjes, §1.10 Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge, pp. 26–36. (ISBN 0-52166402-0).