Identité d'Euler
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En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation mathématiques, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler.
où est la base du logarithme népérien, est l'unité des imaginaires purs (vérifiant ) et est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).
L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.
Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ».
Feynman a trouvé cette formule remarquable parce qu'elle lie des constantes mathématiques fondamentales :
- Les nombres et sont respectivement les éléments neutres pour l'addition et la multiplication.
- Le nombre est une constante relative à notre monde euclidien, au moins sur de petites échelles (sinon le rapport de la longueur de la circonférence du cercle à son diamètre n'est pas une constante universelle, c'est-à-dire la même pour toutes les circonférences).
- Le nombre est important dans la description des comportements de forte croissance, et apparaît dans la solution () de la plus simple équation différentielle de croissance : dy / dx = y et .
- Enfin, le nombre imaginaire a été introduit pour que tous les polynômes non constants à coefficients réels admettent des racines (voir le théorème de d'Alembert).
La formule comporte également les opérations arithmétiques fondamentales d'addition, de multiplication et d'élévation à une puissance. Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe :
- Pour tout nombre réel ,
(moyen mnémotechnique: cis(x) = cos(x)+i sin(x) )
Si nous posons , alors
et puisque et , nous obtenons
et par conséquent,
- L'interprétation géométrique est issue de
- En effet, d'une part, et d'autre part les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées est obtenu en juxtaposant triangles rectangles comme indiqué sur la figure ci-contre.
- Aussi belle et mystérieuse qu'est cette identité d'Euler, on comprend mieux géométriquement pourquoi, lorsque tend vers , le point d'affixe est égal à
[modifier] Voir aussi
- Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables), un résultat d'Euler d'analyse à plusieurs variables.