Homothétie (mathématiques élémentaires)

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Fig. 1. L'image par une chambre noire correspond à une homothétie de centre la lentille et de rapport négatif.

Dans la « vie courante », l'homothétie correspond aux agrandissements et aux réductions.

[modifier] Définition

Soit un point M,un point O et un nombre k.
On dit que le point M' est l' homothétie de M par l' homothétie de centre O et de rapport k(ou h(o,k)) si, et seulement si,

[modifier] Construction de l'homothétique d'un point

• Tracer la droite (OM).
• Si k est positif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de O vers M soit le même que celui de O vers M' .
• Si k est négatif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de M vers O soit le même que celui de O vers M' .
• Alors M' est l'homothétique de M.

[modifier] Propriétés

Propriété 1 : L'homothétique d'une droite d est une droite d' qui est parallèle à d.Celui d'un segment [AB] est un segment [ A'B' ] tel que AB = |k| A'B' .

Propriété 2 : L'homothétique d'un cercle C de centre A et de rayon r est un cercle C' de centre A' , l'homothétique de O, et de rayon r' =|k|r.

Propriété 3 dite "de conservation" : L'homothétie conserve :

• les angles(l'homothétique d'un angle est un angle de même mesure);
• les parallèles (les homothétiques de deux droites parallèles sont parallèles);
• les rapports de longueurs (cf.le Théorème de Thalès).

Propriété 4: Une homothétie de rapport :

• k>1 est un agrandissement de rapport k;
• k<1 est une réduction de rapport .

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