Hiérarchie (mathématiques)

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On considère un ensemble \Omega=(x_1,\dots,x_n) d'individus et un ensemble H=(H_1,\dots,H_g) de parties de Ω. H est une hiérarchie sur Ω si et seulement si:

  • quel que soit i, \{x_i\}\in H.
  • quels que soient k et \ell, H_k\cap H_\ell=\emptyset ou H_k\subset H_\ell ou H_\ell\subset H_k.

Par exemple, pour un ensemble Ω = (x1,x2,x3,x4) l'ensemble

H=\left\{\{x_1\},\{x_2\},\{x_3\},\{x_4\},\{x_1,x_2\},\{x_3,x_4\},\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\right\}

est une hiérarchie.

[modifier] Indice sur une hiérarchie

On appelle indice sur un hiérarchie H de Ω une fonction i de H dans \mathbb{R}^+ vérifiant les propriétés:

  • Si H_k\subset H_\ell et k\neq\ell, alors, i(H_k)<i(H_\ell).
  • Quel que soit xi de Ω, i({xi}) = 0.

Le couple (H,i) est alors appelé hiérarchie indicée.

Dans le cas de données continues, la fonction d'inertie définit un indice. En considérant l'exemple précédent et en considérant que les points xi sont des points de \mathbb{R}^2 de coordonnées

  • x_1=(1,0)\,
  • x_2=(1,0.5)\,
  • x_3=(2,2)\,
  • x_4=(2,2.2)\,

La fonction d'inertie prend les valeurs suivantes:

  • i\left(\{x_1\}\right)=0\,
  • i\left(\{x_2\}\right)=0\,
  • i\left(\{x_3\}\right)=0\,
  • i\left(\{x_4\}\right)=0\,
  • i\left(\{x_1,x_2\}\right)=1.125\,
  • i\left(\{x_3,x_4\}\right)=0.2\,
  • i\left(\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\right)=4.5674\,

Une telle hiérarchie peut être représentée par le dendrogramme suivant: