Frontière (topologie)

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En topologie, la frontière d'un ensemble est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble.

[modifier] Définition

Soit S un sous-ensemble d'un espace topologique (E,T).

Il est possible de définir la frontière de S (souvent notée ∂S ou Fr S) de plusieurs façons équivalentes :

L'adhérence de S sans l'intérieur de S : $\partial S = \bar{S}\setminus \stackrel{\circ}{S}$ .
L'intersection de l'adhérence de S et de l'adhérence de son complémentaire : $\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}$ .
L'ensemble de tous les points frontières de S, où un point p de E est un point frontière de S si tout voisinage de p contient au moins un point dans S et un point en dehors de S.

[modifier] Propriétés

La frontière d'un ensemble est un fermé.

Preuve : D'après la deuxième définition, la frontière d'un ensemble est l'intersection de deux ensembles fermés, donc un fermé.

La frontière d'un ensemble est également celle de son complémentaire.

Preuve

Un ensemble est un fermé si et seulement s'il contient sa propre frontière.
Un ensemble est un ouvert si et seulement s'il est disjoint de sa propre frontière.
Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.
L'adhérence d'un ensemble est l'union de cet ensemble et de sa frontière : $\bar{S} = S \cup\partial S$ .

[modifier] Exemples

Sur l'ensemble des nombres réels muni de la topologie usuelle :

$\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \{0,5 \}\,$
$\partial \emptyset = \emptyset$
$\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$
$\partial \big(\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]\big) = \left[0,1\right]$

Les deux derniers exemples illustrent le fait que la frontière d'un ensemble dense d'intérieur vide est son adhérence.

[modifier] Frontière d'une frontière

Pour tout ensemble S, ∂∂S est incluse dans ∂S, l'égalité étant vérifiée si l'intérieur de ∂S est vide, ce qui est le cas par exemple si S est ouvert ou fermé.

La frontière d'un ensemble étant fermée, ∂∂∂S = ∂∂S pour tout ensemble S. L'opérateur frontière satisfait donc une forme faible d'idempotence.