Formules de Binet

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant la physique.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En physique, en mécanique classique, les formules de Binet sont des expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale telle que la gravitation ou un champ électrostatique.

Elles permettent d'exprimer, en coordonnées polaires, la position d'un mobile en fonction de l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en 1/r², les trajectoires sont des coniques.

[modifier] Formules de Binet

On considère tout d'abord le cas attractif. En posant u = 1/r et en notant C la constante des aires, d'après la seconde loi de Kepler, on peut montrer que :

$\vec{v} = -C\frac{du}{d\theta}\; \mathrm{e_r} + C u\; \mathrm{e_{\theta}}$ ;

$\vec{a} = -C^2 u^2 \left[ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u \right]\; \mathrm{e_r}$ .

Dans le cas répulsif, les composantes selon e_r seraient positives.

[modifier] Trajectoires coniques

On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a :

$m \vec{a} = -k \cdot \frac{1}{r^2}\; \mathrm{e_r}$ .

En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant 1/r par u, puis enfin en projetant selon e_r, on a :

$m C^2 \left[ \frac{d^2u}{d \theta^2} + u \right] = k$ , soit encore :

$\frac{d^2u}{d \theta^2} + u = \frac{k}{mC^2}$ .

Cette équation différentielle s'intègre facilement : c'est un oscillateur harmonique. On obtient :

u (θ) = A cos(θ + φ) + B

En revenant à l'expression de r, on a :

$r(\theta) = \frac{1}{B + A \cos(\theta + \phi)}$ .

C'est bien l'expression d'une conique en coordonnées polaires, dont la nature exacte - parabole, hyperbole ou ellipse - dépend des conditions initiales.