Formule du binôme négatif

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La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d'une somme de deux termes, et apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisé.

[modifier] Énoncé

Nous avons :

\forall x, |x|<1, \forall r\in \mathbb N, (1-x)^{-(r+1)}=\frac{1}{(1-x)^{r+1}}=\sum_{k=r}^{+\infty} {k \choose r} x^{k-r}

où {k \choose r} est un coefficient binomial.

[modifier] Démonstration

La formule se montre par récurrence sur r en utilisant les règles de dérivation des séries entières.

Pour r = 0, on reconnaît \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k (somme d'une série géométrique de raison x)

Supposons la formule vraie au rang r :

\frac{1}{(1-x)^{r+1}}=\sum_{k=r}^{+\infty} {k \choose r} x^{k-r}

et dérivons-la. On obtient :

\frac{r+1}{(1-x)^{r+2}}=\sum_{k=r+1}^{+\infty} (k-r) {k \choose r} x^{k-r-1}

ce qui donne le résultat voulu au rang suivant compte tenu du fait que

{k-r \over r+1} {k \choose r} = {k \choose r+1}

[modifier] Voyez également