Formule de Riemann-Hurwitz

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En mathématiques, la formule de Riemann-Hurwitz, nommée en l'honneur des mathématiciens Bernhard Riemann et Adolf Hurwitz, décrit les relations de la caractéristiques d'Euler de deux surfaces lorsqu'une est un revêtement ramifié de l'autre. Ceci, par conséquent, relie la ramification avec la topologie algébrique dans ce cas. C'est un prototype de résultat pour beaucoup d'autres, et est souvent appliqué dans la théorie des surfaces de Riemann (qui est son origine) et des courbes algébriques.

Pour une surface orientable S, la caractéristique d'Euler $\chi(S)\,$ est

$2 - 2g\,$

où g est le genre (le nombre de trous), puisque les nombres de Betti sont 1, 2g, 1, 0, 0, ... . Dans le cas d'une revêtement (non ramifiée) de surfaces

$\pi : S' \rightarrow S\,$

qui est surjective et de degré N, nous devrions avoir la formule

$\chi(S') = N\chi(S)\,$ .

Ceci, parce que chaque simplexe de S devrait être couvert par exactement N dans S′ — au moins si nous utilisons une triangulation suffisamment bonne de S, comme nous avons eu le droit de le faire puisque la caractéristique d'Euler est un invariant topologique. Ce que fait la formule de Riemann-Hurwitz, est d'ajouter une correction qui tienne compte de la ramification (feuilles se rejoignant).

Proche d'un point P de S où e feuilles se rejoignent, $e = e_P\,$ étant appelé l'indice de ramification, nous notons la perte de $e - 1\,$ copies de P au-dessus de P (dans $\pi^{-1}(P)\,$ ). Par conséquent, nous pouvons prévoir une formule 'corrigée'

$\chi(S') = N\chi(S) - \Sigma(e_P - 1)\,$

la somme étant prise sur tous les P dans S (presque tous les P ont $e_P = 1\,$ , ainsi, ceci est tout à fait sûr). Ceci est la formule de Riemann-Hurwitz, mais pour un cas particulier bien qu'important (autrement dit où il existe juste un point où les feuilles au-dessus de P se rejoignent, ou de manière équivalente la monodromie locale est une permutation circulaire). Dans le cas le plus général, la somme finale doit être remplacée par la somme de termes

$e_P - c_P\,$

où $c_P\,$ est le nombre de points de S′ au-dessus de P, ou de manière équivalente le nombre de cycles de la monodromie locale agissant sur les feuilles.

Pour donner un exemple : Toute courbe elliptique (genre 1) s'applique vers la droite projective (genre 0) comme une double couverture (N = 2), avec une ramification à seulement quatre points, où e = 2. Nous pouvons vérifier que ceci se lit alors

0 = 2.2 - \Sigma 1\,

avec la somme prise sur les quatre valeurs de P. Cette couverture provient de la fonction pe de Weierstrass qui est une fonction méromorphe, avec des valeurs considérées comme se trouvant dans la sphère de Riemann. La formule peut aussi être utilisée pour vérifier la valeur de la formule du genre des courbes hyperelliptiques.

Un autre exemple : la sphère de Riemann s'applique sur elle-même par la fonction $z^n\,$ , qui possède l'index de ramification n à 0, pour tout entier n > 1. Il peut seulement exister une autre ramification au point à l'infini. Pour équilibrer l'équation

$2 = n\cdot 2-(n - 1)-(e_{\infty}- 1)\,$

nous devons avoir l'index de ramification n à l'infini, aussi.

La formule peut être utilisée pour démontrer des théorèmes. Par exemple, elle montre immédiatement qu'une courbe de genre 0 ne possède pas de couverture avec N > 1 qui est non ramifié partout : parce que cela donnerait lieu à une caractéristique d'Euler > 2.

Pour une correspondance de courbes, il existe une formule plus générale, le théorème de Zeuthen, qui donne une correction de la ramification en énonçant en première approximation que les caractéristiques d'Euler sont en rapport inverse des degrés des correspondances.