Formule de Faulhaber

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En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme

$\sum_{k=1}^x k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + x^p$

comme une fonction polynômiale de variable x de degré (p + 1), les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli.

Note : par la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont

$B_0 = 1,\quad B_1 = {-1 \over 2},\quad B_2 = {1 \over 6}, \quad B_3 = 0,\quad B_4 = {-1 \over 30},\quad\dots$

mais, pour le moment, nous suivront une convention vue moins souvent, $B_1 = + \frac{1}{2}\,$ , et tous les autres nombres de Bernoulli restent comme au-dessus (voir ci-dessous pour plus de précision la-dessus).

La formule s'écrit

$\sum_{k=1}^x k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j x^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{avec } B_1 = {1 \over 2} \mbox{plutot que }{-1 \over 2}\right)$

(l'index j parcours jusqu'à p, non jusqu'à p + 1).

Faulhaber ne connaissait pas la formule dans cette forme. Il connaissait au moins les 17 premiers cas et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynômiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Il a connu aussi certaines généralisations remarquables (voir Knuth).

Sommaire

1 Les premiers cas
2 Une autre forme
3 Relation avec les polynômes de Bernoulli
4 Forme symbolique
5 Polynômes de Faulhaber
6 Références
7 Liens externes

[modifier] Les premiers cas

$1 + 2 + 3 + \cdots + x = {x^2 + x \over 2}$

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + x^2 = {2x^3 + 3x^2 + x \over 6}$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + x^3 = {x^4 + 2x^3 + x^2 \over 4}$

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + x^4 = {6x^5 + 15x^4 + 10x^3 - x \over 30}$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + x^5 = {2x^6 + 6x^5 + 5x^4 - x^2 \over 12}$

$1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + x^6 = {6x^7 + 21x^6 + 21x^5 -7x^3 + x \over 42}$

[modifier] Une autre forme

On peut voir la formule énoncée avec des termes parcourant de 1 à x − 1 plutôt que de 1 à x. Dans ce cas, la seule chose qui change est que nous prenons B₁ = −1/2 plutôt que +1/2, donc le terme de deuxième plus haut degré dans chaque cas possède un signe moins plutôt qu'un signe plus.

[modifier] Relation avec les polynômes de Bernoulli

On peut aussi écrire

$\sum_{k=0}^{x} k^p = \frac{\varphi_{p+1}(x+1)-\varphi_{p+1}(0)}{p+1},$

où $\varphi_j\,$ est le jème polynôme de Bernoulli.

[modifier] Forme symbolique

Dans le calcul symbolique classique, on traite formellement les indices j dans une suite B_j" comme s'ils étaient des exposants, c’est-à-dire, dans ce cas nous appliquons le théorème du binôme et écrivons

$\sum_{k=1}^x k^p = \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j x^{p+1-j} = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B^j x^{p+1-j}$

$= {(B+x)^{p+1} - B^{p+1} \over p+1}$ .

Dans le calcul symbolique moderne, on considère la forme linéaire T sur l'espace vectoriel des polynômes de variable b donnée par

$T(b^j) = B_j.\,$

On peut alors écrire

$\sum_{k=1}^x k^p = \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j x^{p+1-j} = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} T(b^j) x^{p+1-j}$

$= {1 \over p+1} T\left(\sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} b^j x^{p+1-j} \right) = T\left({(b+x)^{p+1} - b^{p+1} \over p+1}\right).$

[modifier] Polynômes de Faulhaber

La locution polynômes de Faulhaber est utilisée par certains auteurs pour faire référence à quelque chose d'autre que la suite de polynômes donnée ci-dessus. Faulhaber a observé que si p est impair, alors

$1^p + 2^p + 3^p + \cdots + x^p\,$

est une fonction polynômiale de

$y=1+2+3+\cdots+x\,$ .

En particulier

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + x^3 = y^2\,$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + x^5 = {4y^3 - y^2 \over 3}$

$1^7 + 2^7 + 3^7 + \cdots + x^7 = {12y^4 -8y^3 + 2y^2 \over 6}$

$1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + x^9 = {16y^5 - 20y^4 +12y^3 - 3y^2 \over 5}$

$1^{11} + 2^{11} + 3^{11} + \cdots + x^{11} = {32y^6 - 64y^5 + 68y^4 - 40y^3 + 5y^2 \over 6}$

Quelques auteurs appellent ces polynômes en y "polynômes de Faulhaber".

[modifier] Références

The Book of Numbers, John H. Conway, Richard Guy, Spring, 1998, ISBN 038797993X, page 107
CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Eric Weisstein, Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1584883472, page 2331
"Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Academia Algebrae, Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631. Call number QA154.8 F3 1631a f MATH at Stanford University Libraries.