Formule d'Euler-Maclaurin

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En mathématiques, la formule d'Euler-Maclaurin est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard Euler et l'écossais Colin Maclaurin. Elle peut être utilisée pour approcher des intégrales par un procédé discret, par exemple dans la méthode des trapèzes ou celle de Romberg, ou à l'inverse pour transformer une somme discrète (finie ou non) et lui appliquer les techniques du calcul infinitésimal.

Soient deux entiers relatifs p et q. Pour une fonction 2k fois continûment dérivable sur le segment [p,q], la formule s'énonce ainsi :

\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{j=p+1}^{q-1}f\left( j\right) =\int_p^q f(x)\,dx +\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R

avec :

R = - \int_p^q f^{(2k)}(x) {B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor) \over (2k)!}\,dx,

La notation Bi désigne le i-ème polynôme de Bernoulli, et B_i(x-\lfloor x \rfloor) en est une version périodisée. Les nombres bi désignent les nombres de Bernoulli : b1 = −1/2, b2 = 1/6, b3 = 0, b4 = −1/30, b5 = 0, b6 = 1/42, b7 = 0, b8 = −1/30.

Bien sûr, un simple changement de variable permet d'obtenir une formule analogue pour une fonction définie sur un segment à bornes non entières.

[modifier] Références

  • Analyse numérique et équations différentielles, J.-P. Demailly, Presses universitaires de Grenoble