Formalisme complexe

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Soit une grandeur physique x définie par : x(t)=X_0\,cos(\omega t+\varphi)

x\, est donc une fonction sinusoïdale du temps.

  • X_0\, est l'amplitude de x\,
  • \varphi est la phase de x\,.

A x\,, on associe une valeur complexe notée \bar{X}, telle que \bar{X}=X_0\,e^{j\,(\omega t+\varphi)}

Donc \bar{X}=X_0\,e^{j\omega t}\,e^{j\varphi}

On pose \bar{X_0}=X_0\,e^{j\varphi}


On a alors :

  • |\bar{X_0}|=X_0\, : c'est l'amplitude de x\,
  • arg(\bar{X_0})=\varphi : c'est la phase de x\,.

[modifier] Opérations mathématiques

  • La dérivation :

Lorsque l'on dérive la grandeur x\, par rapport au temps, on obtient :

x^\prime\,(t)=-X_0\,\omega\,sin(\omega t+\varphi)=X_0\,\omega\,cos(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})

A x^\prime\,, on associe une valeur complexe notée \bar{X^\prime}

\bar{X^\prime}=X_0\,\omega\,e^{j(\omega t+\varphi)}\,e^{j\frac{\pi}{2}}=j\omega\,\bar{X} car e^{j\frac{\pi}{2}}=j et X_0\,e^{\omega t+\varphi}=\bar{X}.

Dériver une grandeur x\, par rapport au temps, revient à multiplier \bar{X} par j\omega\, en formalisme complexe.


  • L'intégration :

On montre de la même manière qu'intégrer une grandeur x par rapport au temps, revient à diviser celle-ci par jω.