Fonction zêta de Lerch

En mathématiques, la fonction zêta de Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta d'Hurwitz et le polylogarithme. Elle est donnée par

$L(\lambda, \alpha, s) = \sum_{n=0}^\infty \frac { e^{2\pi i\lambda n}} {(n+\alpha)^s}$

La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, qui est donnée par

$\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s}\,$

par

$\Phi(e^{2\pi i\lambda}, s,\alpha)=L(\lambda, \alpha,s)\,$

[modifier] Cas particuliers

La fonction zêta d'Hurwitz est un cas particulier, donnée par

$\zeta(s,\alpha)=L(0, \alpha,s)=\Phi(1,s,\alpha)\,$

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par

$\textrm{Li}_s(x)=z\Phi(z,s,1)\,$

La fonction chi de Legendre est un cas particulier, donnée par

$\chi_n(z)=2^{-n}z \Phi (z^2,n,1/2)\,$

La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :

$\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)$

Enfin, la fonction êta de Dirichlet admet l'expression

$\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)$

Mathias Lerch, Démonstration élémentaire de la formule: $\frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}$ , (1903), L'Enseignement Mathématique, 5, pp.450-453.
M. Jackson, On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series $\,_2\psi_2$ , (1950) J. London Math. Soc., 25, pp. 189-196