Fonction de Walsh

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Table des huit premières fonctions orthogonales d'une base orthogonale

Les fonctions de Walsh sont un ensemble de fonctions qui forment une base orthogonale sur l'intervalle $[0;1]$ pour les fonctions qui respectent la condition suivante :

$\int_{\infty}^{\infty} {|f(x)|^2 dx}$ est finie

Ces fonctions prennent uniquement les valeurs -1 et 1, sur des sous-intervalles définis par les fonctions dyadiques. Elles sont utiles en électronique et d'autres applications en ingénierie.

Les fonctions orthogonales de Walsh sont utilisées pour effectuer les transformées de Hadamard, qui sont très similaires aux sinusoidales orthogonales employées dans le cadre de la transformée de Fourier. Les fonctions de Walsh partagent également des similitudes avec l'ondelette de Haar. Le système de Haar est toutefois préférable dans certaines situations où la localisation est nécessaire (alors que les fonctions de Walsh sont bornées) ou d'autres caractéristiques propres aux ondelettes doivent être respectées.

L'ordre de la fonction est 2^s, où s est un entier, ce qui implique qu'il y a 2^s intervalles où la valeur est égale à -1 ou 1.

Une liste de 2^s fonctions de Walsh forment une matrice de Hadamard. Une manière de définir les fonctions de Walsh consistent à utiliser la représentation binaire des entiers et des réels. Pour un entier k, on considère la représentation binaire suivante :

$k = k_0 + 2k_1 + ... + 2^m k_m~$

pour un entier m avec k_i égale à 0 ou 1. Ensuite, si k est le résultat en code Gray de j-1, alors la j^e fonction de Walsh au point x, avec 0 ≤ x < 1, est :

$W_j(x) = (-1)^{k_0 x_0 + ... + k_m x_m}$

$~x = 2x_0 + 2^2 x_1 + 2^3 x + ...$

où x_i est 0 ou 1.

Les fonctions de Walsh peuvent être perçues comme les caractères de :

$~(Z_2)^N$ ,

le groupe de séquences sur Z₂. Vu sous cet angle, plusieurs généralisations ont été proposées.

[modifier] Applications

Les applications en mathématiques peuvent être trouvées où des représentations numériques sont utilisées, par exemple dans l'analyse des méthodes numériques de quasi-Monte Carlo.