Fonction de Langevin

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La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par $L(x) = \coth (x) - {1 \over x}$ .

Sommaire

1 Contexte
2 Calcul de l'aimantation moyenne
3 Résultat
4 Comportement asymptotique

[modifier] Contexte

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme $\vec{B}=B\vec{u_z}$ (ou des systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante).

La matériau est décrit par une assemblée de dipôles magnétiques avec un moment magnétique $\vec{M}$ . L'énergie de chaque dipôle est alors $U=-\mu \vec{M}.\vec{B}$ .

[modifier] Calcul de l'aimantation moyenne

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas $\langle M \rangle$ l'aimantation moyenne d'un site dans la direction $\vec{u_z}$ est donnée par la loi de Boltzmann : $\frac{\int M e^{\frac{\mu \vec{M}.\vec{B}}{kT}}d\Omega}{\int e^{\frac{\mu \vec{M}.\vec{B}}{kT}}d\Omega}$ où $Ω$ désigne l'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour $\vec{M}$ .

[modifier] Résultat

Des manipulations élémentaires mènent alors à : $\langle M \rangle =\mu(coth(\frac{\mu B}{kT})-\frac{kT}{\mu B})= \mu L(\frac{\mu B}{kT})$ où $L$ est la fonction de Langevin.

[modifier] Comportement asymptotique

Lorsque la température tend vers zéro on a $\langle M \rangle \simeq \mu$ : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures $\langle M \rangle \simeq 0$ , l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime "entropique" : les spins ne voient plus le champ magnétique).