Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel

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Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann qu'il permet d'aborder directement. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes : les dérivées partielles (par rapport à $\ x, y$ ou $\ z, \bar{z}$ ) et la différentiabilité au sens réel.

On considère une fonction $\ f : U \to \mathbb{{C}}$ d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe $\mathbb{{C}}$ . On utilisera les notations suivantes :

la variable complexe $\ z$ sera notée $\ x + i\, y$ , où x, y sont réels
les parties réelle et imaginaire de $\ f(z) = f(x + i\, y)$ seront notées respectivement $\ P(x, y)$ et $\ Q(x, y)$ , c'est-à-dire : $\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)$ , où $\ P,\, Q$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Sommaire

1 Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexe
- 1.1 Dérivées partielles par rapport à x et y
- 1.2 Dérivées partielles par rapport à et
2 Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexe

[modifier] Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexe

[modifier] Dérivées partielles par rapport à x et y

Définition : soit $\ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U$ , où $\ x_0,\, y_0$ sont réels.

on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point $\ z_0$ par rapport à la variable x, notée $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ si la limite (finie) $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \lim_{u \to 0,\, u\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u}$ existe
on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point $\ z_0$ par rapport à la variable y, notée $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ si la limite (finie) $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \lim_{v \to 0,\, v\, \in\, \mathbb{{R}}^*} \frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v}$ existe

Propriété :

la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existe si et seulement si les dérivées partielles $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0)$ , $\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$ existent, et alors $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ existe si et seulement si les dérivées partielles $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0)$ , $\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ existent, et alors $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) + i\, \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$

Dérivées partielles d'ordre supérieur :

si, par exemple, $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existe en tout point $\ z_0 \in U$ , on définit la fonction $\frac{\partial f}{\partial x} : U \to \mathbb{{C}},\, z \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(z)$
si, de plus, la fonction $\frac{\partial f}{\partial x}$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point $\ z_0$ par rapport à la variable x, on la note $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)$ : $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(z_0)= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$ . De manière analogue, si $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$ existe, on la note $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(z_0)$ , etc.

[modifier] Dérivées partielles par rapport à $\ z$ et $\ \bar{z}$

Définition : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point $\ z_0$ . Alors, on définit :

$\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)$
$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{1}{2}\, \left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) + i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)$

Propriété : en conservant les hypothèses précédentes

$\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)$
$\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \left(\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) - \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)\right)$

[modifier] Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexe

On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou $\mathbb{R}$ -différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction $\mathbb{R}$ -linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.

Plus précisément, cela veut dire que $\ f$ , en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.

Définition : on dit qu'une application est -linéaire si : .
- (alors : $\forall u \in \mathbb{R},\, \forall v \in \mathbb{R},\, L(u + i\, v) = u L(1)+ v L(i)$ )

Définition : on dit que la fonction est -différentiable en un point s'il existe une application -linéaire et une fonction d'une variable complexe telles que lorsque et (en supposant que , où r est le rayon d'une boule ouverte telle que ).
- Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle $\mathbb{R}$ -différentielle ou différentielle de $\ f$ en $\ z_0$ et on la note habituellement $\ df(z_0)$ .
- On dit que $\ f$ est $\mathbb{R}$ -différentiable sur U si elle est $\mathbb{R}$ -différentiable en tout point de U.

Propriété : si est -différentiable en un point , alors
- elle est continue en $\ z_0$
- elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en $\ z_0$ , et $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = df(z_0)(1)$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = df(z_0)(i)$ .

démonstration :

continuité : $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h) \to f(z_0)$ lorsque $h \to 0$ parce que $L(h) \to 0$ (la $\mathbb{R}$ -différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et $h\, \epsilon(h) \to 0$ .
existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
- pour tout u réel tel que $\ |u | < r$ , $f(z_0+u) = f(z_0) + L(u) + u\, \epsilon(u) = f(z_0) + u L(1) + u\, \epsilon(u)$ ; donc, si $u \neq 0$ , $\frac{f(z_0+u) - f(z_0)}{u} = L(1) + \epsilon(u) \to L(1)$ lorsque $u \to 0$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction $\ f$ en $\ z_0$ par rapport à $\ x$ , et la relation $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1)$
- pour tout v réel tel que $\ |v | < r$ , $f(z_0+i\, v) = f(z_0) + L(i\, v) + i\, v\, \epsilon(i\, v) = f(z_0) + v L(i) + i\, v\, \epsilon(i\, v)$ ; donc, si $v \neq 0$ , $\frac{f(z_0+i\, v) - f(z_0)}{v} = L(i) + i\, \epsilon(i\, v) \to L(i)$ lorsque $v \to 0$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction $\ f$ en $\ z_0$ par rapport à $\ y$ , et la relation $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i)$ .

Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de -différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
- Soit $\ z_0 \in U$ . Si $\ f$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à $\ z$ et $\ \bar{z}$ ) en tout point d'un voisinage de $\ z_0$ , et si $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ (ou $\frac{\partial f}{\partial z}$ , $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ ) sont continues en $\ z_0$ , alors $\ f$ est $\mathbb{R}$ -différentiable en $\ z_0$
- En particulier, si $\ f$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à $\ z$ et $\ \bar{z}$ ) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction $\ f$ est $\mathbb{R}$ -différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que $\ f$ est $\mathbb{R}$ -continûment différentiable sur U, ou de classe $\ C^1$ sur U.