Fonction étagée

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Une fonction étagée est une fonction mesurable dont l'image est finie. Ces fonctions jouent un rôle important en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue. Il s'agit d'une généralisation des fonctions en escalier utilisée en théorie de l'intégrale de Riemann.

Sommaire

1 Propriété caractéristique
2 Ensemble des fonctions en escalier
- 2.1 Structure
- 2.2 Densité
3 Integration d'une fonction en escalier

[modifier] Propriété caractéristique

Une fonction étagée est une combinaison linéaire finie de fonctions indicatrices d'ensembles mesurables. Autrement dit, soient (X, Σ) un espace mesurable, A₁, ..., A_n ∈ Σ une suite finie d'ensembles mesurables, et a₁, ..., a_n une suite finie de nombres réels ou complexes. Une fonction étagée est une fonction de la forme :

$f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x).$

[modifier] Ensemble des fonctions en escalier

[modifier] Structure

Il découle de la définition que la somme, le produit de deux fonctions en escalier, le produit d'une fonction en escalier par un complexe est une fonction en escalier. L'ensemble des fonctions en escalier constitue donc une C-algèbre commutative.

[modifier] Densité

Théorème: L'ensemble des fonctions en escalier positives est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables positives.

Ce théorème est équivalent à :

Toute fonction mesurable est la limite simple de fonctions en escalier.
Démonstration: Soit $f$ une fonction positive définie sur un espace mesurable $(\Omega, {\mathcal F},\mu)$ . Pour tout $n\in\mathbb N$ , on partage l'image de $f$ en $2 2 n + 1$ intervalles de longueur $2 - n$ . On pose $I_{n,k}=[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}[$ pour $k=1,2,\ldots,2^{2n}$ et $I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,+\infty[$ . On définit les ensembles mesurables $A n, k = f - 1 (I n, k)$ pour $k=1,2,\ldots,2^{2n}$ . Alors la suite croissante de fonctions $f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf 1}_{A_{n,k}}$ converge simplement vers $f$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .
Remarque: Si f est bornée, la suite donnée dans la démonstration ci-dessus converge uniformément.