Filtre de Butterworth

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Diagramme de Bode d'un filtre de Butterworth passe-bas du premier ordre

Un filtre de Butterworth est un type de modèle de filtre linéaire, conçu pour posséder un gain aussi constant que possible dans sa bande passante.

Les filtres de Butterworth furent décrits pour la première fois par l'ingénieur britannique Stephen Butterworth ^[1].

[modifier] Caractéristiques

Gains de filtres de Butterworth passe-bas d'ordre 1 à 5 en fonction de la fréquence

Le gain d'un filtre de Butterworth est le plus constant possible dans la bande passante et tend vers 0 dans la bande de coupure. Sur un diagramme de Bode logarithmique, cette réponse décroît linéairement vers -∞, de -6 dB/octave (-20db/décade) pour un filtre de premier ordre, -12db/octave soit -40dB/decade pour un filtre de second ordre, -18dB/octave soit -60dB/decade pour un filtre de troisième ordre, etc.

[modifier] Fonction de transfert

Comme pour tous les filtres linéaires, le prototype étudié est le filtre passe-bas, qui peut être facilement modifié en filtre passe-haut ou placé en série pour former des filtres passe-bande ou coupe-bande.

Le gain d'un filtre de Butterworth passe-bas d'ordre n est :

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + (\omega / \omega_\mathrm{c}) ^ {2 n}} }$

où $G n$ est le gain du filtre, $H n$ sa fonction de transfert, $j$ l'unité complexe, $ω$ la fréquence (angulaire) du signal en rad.s^-1 et $ω c$ la fréquence de coupure (angulaire) du filtre (à -3 dB).

En normalisant l'expression (c’est-à-dire en spécifiant $ω c = 1$ ) :

$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ^ {2 n}} }$

Les 2n-1 premières dérivées de $G n$ sont nulles pour $ω = 0$ , impliquant une constance maximale du gain dans la bande passante.

Aux hautes fréquences :

${{\left | H(j \omega) \right |^2}_{dB}} = {20n}{log_{10}{\omega}}$

Le roll-off du filtre (la pente du carré du gain dans un diagramme de Bode) est de 20n dB/décade.

[modifier] Polynômes de Butterworth

La fonction de transfert normalisée d'un filtre de Butterworth peut être écrite sous la forme suivante :

$H_n(s) = \frac {1} {B_n(s)}$

où $B n (s)$ est un polynôme de degré n.

La table suivante donne les premières valeurs de ces polynômes :

n	B_n(s)
1	s+1
2	s²+1,414s+1
3	(s+1)(s²+s+1)
4	(s²+0,7654s+1)(s²+1,8478s+1)
5	(s+1)(s²+0,6180s+1)(s²+1,6180s+1)
6	(s²+0,5176s+1)(s²+1,414s+1)(s²+1,9318s+1)
7	(s+1)(s²+0,4450s+1)(s²+1,247s+1)(s²+1,8022s+1)
8	(s²+0,3986s+1)(s²+1,111s+1)(s²+1,6630s+1)(s²+1,9622s+1)

[modifier] Comparaisons

Diagramme de Bode des gains d'un filtre de Butterworth, d'un filtre de Tchebychev de type 1, d'un filtre de Tchebychev de type 2 et d'un filtre elliptique

Les filtres de Butterworth sont les seuls filtres linéaires dont la forme générale est similaire pour tous les ordres (mis à part une pente différente dans la bande de coupure).

Par comparaison avec les filtres de Tchebychev ou elliptiques, les filtres de Butterworth ont un roll-off plus faible qui implique d'utiliser un ordre plus important pour une implantation particulière. Leur gain est en revanche nettement plus constant dans la bande passante.

[modifier] Implantation

Schéma type d'une implémentation Cauer-1 d'un filtre de Butterworth

Un filtre de Butterworth dont on connait la fonction de transfert peut être implémenté électroniquement suivant la méthode de Cauer. Le k^e élément d'un tel circuit est donné par :

$C_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]$ (k impair)