Discuter:Famille (mathématiques)

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[modifier] Famille non indexée

J'ai l'impression qu'en mathématiques une famille est explicitement ou implicitement indexée, et c'est le cas dans les ouvrages que j'ai sous la main. Ça permettrait de simplifier cet article qui n'est pas franchement très clair. Proz 16 novembre 2006 à 13:53 (CET)

[modifier] Article confus. Définition inutilisable

La définition d'une "famille" comme un sous-ensemble est incorrecte et conduit à des incohérences (en algèbre linéaire, par exemple, on distingue expressément les familles génératrices et les parties génératrices). On dit :"famille d'éléments d'un ensemble E indexée par un ensemble I", et cela désigne une application de I dans E (Arnaudiès et Fraysse, dans leur volume consacré à l'algèbre (Dunod Université), définissent une famille comme un "graphe fonctionnel", notion qui dans ce contexte peut sans inconvénient être identifiée à celle d'application). À toute famille d'éléments de E, on peut associer un sous-ensemble de E (l'image de I par l'application définissant la famille). Mais le même sous-ensemble de E peut être associé à des familles différentes. Par exemple, en algèbre linéaire, si u1, u2, u3 sont trois vecteurs (tous distincts) du même espace vectoriel E, les familles finies suivantes (applications de l'ensemble fini {1, 2, 3} dans E) sont toutes différentes (mais l'ensemble de leurs éléments est le même): (u1, u2, u3), (u1, u3, u2), (u2, u1, u3), (u2, u3, u1), (u3, u1, u2), (u3, u2, u1).

Pour bien me faire comprendre, j'ajouterai ceci : à supposer que E soit un espace vectoriel de dimension 3, et que la première des 6 familles énumérées ci-dessus soit une base de E, les 5 autres seront aussi des bases de E. Mais un endomorphisme de E n'aura pas en général la même matrice dans ces 6 bases. En langage simple, les éléments d'une famille sont "ordonnés" ; ils peuvent aussi être répétés. Tout ceci montre bien qu'une famille n'est pas l'ensemble de ses éléments. Vivarés 22 novembre 2006 à 23:16 (CET)

Tout à fait d'accord. Il y a parfois, même en math., des termes ambigus, mais là je n'ai jamais vu des familles qu'indexées, explicitement ou parfois implicitement. J'ai vérifié rapidement dans les index d'ouvrages d'analyse, algèbre, et th. des ensembles par acquis de conscience. Proz 22 novembre 2006 à 23:39 (CET) [article modifié]]