Faisceau injectif

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Un faisceau de groupes abéliens \mathcal F sur un espace topologique X est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau \mathcal A d'un faisceau de groupes abéliens \mathcal B sur X, tout morphisme injectif de faisceaux de groupes abéliens i:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{F} se prolonge en un morphisme g:\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{F}.

Pour rappel, tout groupe abélien se plonge dans un groupe abélien injectif. De manière analogue :

Tout faisceau \mathcal F de groupes abéliens sur X se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.

[modifier] Démonstrations

Pour tout point x\in X, il existe un plongement de la tige \mathcal{F}_x dans un groupe abélien Jx. Introduisons le faisceau gratte-ciel J'x défini par :
J'x(U) = Jx si x\in U ;
J'x(U) = 0 sinon.
Pour tout faisceau de groupes abéliens \mathcal A, on a :
Hom_X(\mathcal{A},J'_x)=Hom(A_x,J_x)
Il s'en suit que J'x est un faisceau injectif. Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle \mathcal{F}\rightarrow \prod_XJ'_x est un monomorphisme de \mathcal F dans un faisceau injectif.


Tout faisceau \mathcal F de groupes abéliens sur X admet une résolution injective \mathcal{F}\rightarrow I^*, id est une suite exacte longue de faisceaux injectifs de groupes abéliens (In,dn) et un plongement i:\mathcal{F}\rightarrow I^0 d'image le noyau de d0.