Discuter:Extremum

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[modifier] Extremums locaux

Quelle est la différence entre un maximum local et un maximum? (18 septembre 2005)


Question judicieuse : la définition des extremums locaux donnée dans l'article n'est guère satisfaisante. La définition usuelle d'un maximum local (celle qu'on utilise en analyse) fait intervenir une fonction f définie sur un espace topologique E (par exemple : un espace métrique, un espace vectoriel normé) et à valeurs réelles.

On dit alors que f atteint en un point a de E un maximum local S'IL EXISTE un voisinage V de a tel que f(a) soit le maximum de f sur V.

Par exemple, la fonction f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto (x^2 -1)^2 atteint en 0 un maximum local : on peut trouver un voisinage de 0, tel que l'intervalle V = [-1, +1], pour lequel : \forall x \in V, f(x) \leq f(0) = 1 (mais f n'admet aucun maximum global).

C'est la définition précédente qu'on utilise quand on affirme (en analyse des fonctions de plusieurs variables) qu'étant donnée une fonction réelle f de classe C1 sur un ouvert U de \mathbb{R}^n , les points où elle atteint un extremum local sont nécessairement des points critiques (i. e. où la différentielle de f est nulle). Vivarés (17 octobre 2005).

[modifier] élément extrémum / extrémum de fonction

Il me semble que ces deux concepts n'ont rien à voir ? Pourquoi ne font-ils pas l'objet de deux articles séparés ? --ArséniureDeGallium 20 février 2006 à 12:23 (CET) En tous cas le titre actuel (Plus grand élément) n'a rien à voir avec "extrémum de fonction" ! --ArséniureDeGallium 20 février 2006 à 15:41 (CET)


[modifier] déplacement d'un commentaire inséré dans l'article

début de la partie déplacée

====Tout ça est très métamathématique, très théorique. On pourrait aussi donner des exemples et des moyens de trouver (déterminer la position) des "extremums". Non?

Un exemple:

Sagissant d'une fonction commune du second degré en x, soit f(x) = ax2 + bx + c, on dira qu'il existe une valeur de x qu'on nommera m, par exemple, donc: x = m, qui est la droite verticale de symétrie de la parabole. Donc f(x+m) = f(x-m)

Application: f(x+m) = a(m+x)2 + b(m+x) + c, d'aune part, f(x-m) = a(m-x)2 + b(m-x) + c, d'autre part.

Comme f(m+x) = f(x-m), alors a(m+x)2 + b(m+x) + c = a(x-m)2 + b(x-m) + c. a(m+x)2 + b(m+x) = a(m-x)2 + b(m-x) a(m+x)2 - a(m-x)2 + b(m+x) - b(m-x) = 0 a[(m+x)2-(m-x)2] + b(m+x-m+x) = 0 a(m+x+m-x)(m+x-m+x) + 2bx = 0 a(2m)(2x) + 2bx = 0 On factorise 2 x: (2x)(2ma+b) = 0 Produit de facteur nul => 2x = 0, x = 0, ou 2ma+b = 0, 2ma = -b, m = -b/2a. Nous avons trouvé l'abscise du point "extremum" de f(x). Ce sera un minimum ou un maximum selon le signe de a.

Pour trouver l'ordonnée il suffit d'injecter cette valeur m dans la fonction: f(m) = f(-b/2a) = a(-b/2a)2 + b(-b/2a) + c = a(-b2/4a2) - b2/2a + c = - b2/4a - b2/2a + c = - b2/4a - 2b2/4a + c = - b2/4a - 2b2/4a + c = (- b2 - 2b2)/4a = - 3b2 / 4a. Je me suis probablement trompé dans ce dernier calcul algébrique.

fin de la partie déplacée. J'appuie complètement l'idée qu'il faut séparer la problématique des extrema de fonctions de celle des plus grands éléments et/ou bornes supérieures de parties, même si elles se recoupent formellement, la présentation par fonctions est plus parlante et source de méthodes particulières. Peps 24 septembre 2006 à 09:28 (CEST)