Exemples de calculs d'entropie

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Il convient de manier l'entropie à travers un maximum d'exemples pour se pénétrer de l'importance du concept et de s'approprier peu à peu cette formule un peu magique :

$\acute{E}tat A \to S_{\acute{E}tatA} = \int_{chemin~r\acute{e}versible}^{\acute{E}tat A} \frac{dQ}{T} + Cste \,$ .

qui est celle de Clausius ou bien celle de Boltzmann:

$S = k\cdot \ln(possible)\,$

Voir deuxième principe de la thermodynamique. Voir aussi irréversibilité

Sommaire

1 Entropie d'une source
2 Entropie d'un corps de capacité calorifique c
- 2.1 Remarque
- 2.2 Un exemple qui peut surprendre
3 Entropie d'un solide, basse température
- 3.1 Un autre exemple qui peut surprendre
4 Voir aussi

[modifier] Entropie d'une source

Soit une source de température : $T_1 \,$ , c’est-à-dire un réservoir infini de chaleur. Pour opérer une transformation réversible, la source doit recevoir le transfert thermique sous la température $T_1 \,$ : la formule de Clausius donne alors :

$\Delta S = \frac{Q }{T_1} \,$

[modifier] Entropie d'un corps de capacité calorifique c

recevant : $dQ \,$ , le corps voit sa température augmenter de : $dT = \frac{dQ}{c} \,$ , la formule de Clausius donne donc :

$S = c\cdot\ln(T) + Cste. \,$

[modifier] Remarque

Si $c \to \infty$ , et : $T = T_1 +dT \,$ , on retrouve : $dS = \frac{Q }{T_1} \,$ : c'est une source pour l'avenir!

[modifier] Un exemple qui peut surprendre

Soit 3 corps identiques de capacité $c \,$ . Deux sont à la température $10.T = 3000K \,$ et le troisième est à la température $T = 300K \,$

Quelle est la température maximale $T _1 \,$ que peut atteindre le troisième, sans apport de travail extérieur, (ni de chaleur bien sûr) ?

La réponse est : $T_1 = 4800 K > 3000 K \,$ ! Évidemment les 2 autres ne sont plus qu'à $T_2 = 750 K \,$

La solution s'obtient rapidement : il faut résoudre : $20 T +T = 2T_2 + T_1\,$ et $100T^3 = T_2^2 .T_1\,$ en éliminant la solution triviale $T = T_1\,$

Le résultat est logique : on peut se servir de la différence de température pour produire un travail qui, réinjecté dans une pompe à chaleur, a permis au 3^e corps de monter en température. Logique sans doute, mais pas si évident!

[modifier] Entropie d'un solide, basse température

À basse température (mais pas très basse), la capacité calorifique d'un solide est $c(T) = R . \left( \frac{T}{T_1} \right) ^3 \,$ . Calculer son entropie.

Réponse : $S = \frac{1}{3} c \,$ .

[modifier] Un autre exemple qui peut surprendre

On laisse tomber dans un cryostat à la température $T_1 \,$ une pièce de cuivre de $h_1 = 10 cm \,$ . En admettant que toute l'énergie du choc se transforme en chaleur, calculer la température du cuivre.