Ensemble nulle part dense
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En topologie, un ensemble est nulle part dense s'il satisfait aux propriétés inverses du concept de densité. Intuitivement, un sous-ensemble A d'un espace topologique X est nulle part dense dans X si presque aucun point de X ne peut être « approché » par des points de A.
Sommaire |
[modifier] Définition
Soit X un espace topologique et A un sous-ensemble de X. A est nulle part dense dans X si l'intérieur de l'adhérence de A est vide. Une telle partie A est également qualifiée de rare.
L'ordre de la définition est important : il est possible de trouver des sous-ensembles denses dont l'adhérence de l'intérieur est vide (c'est le cas des nombres rationnels dans l'ensemble des nombres réels).
[modifier] Propriétés
Tout sous-ensemble d'un ensemble nulle part dense est nulle part dense et l'union d'un nombre fini d'ensembles nulle part dense est nulle part dense. En revanche, l'union d'un nombre dénombrable d'ensembles nulle part denses n'est pas forcément nulle part dense.
[modifier] Exemples
- L'ensemble des nombres entiers est nulle part dense dans l'ensemble des nombres réels muni de la topologie usuelle.
[modifier] Mesure de Lebesgue positive
Un ensemble nulle part dense n'est pas nécessairement négligeable. Par exemple, si X est l'intervalle [0,1], il est non seulement possible de trouver un sous-ensemble dense de mesure de Lebesgue nulle (comme l'ensemble des nombres rationnels), mais il est également possible d'avoir un sous-ensemble nulle part dense de mesure de Lebesgue positive.
