Discuter:Ensemble vide
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... ou simplement: "{}". Ce dernier est préféré sur wikipédia. : Qui a décidé ? L'utilisation de Ø me semble largement dominante, en France du moins. Cham 21 avr 2004 à 16:29 (CEST)
Ah je ne suis pas d'accord avec toi. L'ensemble vide en France est bien mieux représenté par la politique du gouvernement actuel :oP --Pontauxchats Ier | ✉ 21 avr 2004 à 16:43 (CEST)
- Pour te répondre, il est probable que ça vienne de là. --Pontauxchats Ier | ✉ 21 avr 2004 à 16:47 (CEST)
- Tiens ! J'aurais plutôt tendance à dire qu'elle donne une idée de l'infini... ;-)
- Sts 21 avr 2004 à 16:50 (CEST)
Hé ho, pendant que vous blablatez, moi j'agis :-) ! ℓisllk★✉ 21 avr 2004 à 17:10 (CEST)
- Insinuerais-tu que nos discussions s'apparentent elles aussi à un ensemble vide ? :o) --Pontauxchats Ier | ✉ 21 avr 2004 à 18:03 (CEST)
Sommaire |
[modifier] Théorie de catégories
j'ai supprimé le dernier "à traduire" concernant la théorie des catégories... Histoire de donner un aspect achevé à l'article.Franckyboy
[modifier] Opération sur l'ensemble vide
il semble qu'il y ait confusion entre
- opération sur l'ensemble vide (union , intersection) traitées dans le paragraphe "propriété""
- opération dans l'ensemble vide (addition, multiplication) qui suggèrerait l'existence de loi interne: à tout couple a, b d'éléments de {}, on associerait un élément de {}. Dans ce cas, aucune opération ne peut donner comme résultat 1 ou 0 car ni 1 ni 0 ne sont éléments de {}.
Dans l'attente d'un éclaircissement, je préfère supprimer le paragraphe.HB 29 mar 2005 à 22:42 (CEST)
[modifier] Unicité de l'ensemble vide
Je lis : "Les mathématiciens préfèrent parler de l'ensemble vide plutôt que d'un ensemble vide."
Pourquoi "préfèrent"? S'il est démontré qu'il est unique, on n'a pas le choix!
Par contre, la présentation de tout çà est illogique : a priori effectivement il se pourrait qu'existent une infinité d'ensembles vides (les parties vides de deux ensembles peuvent intuitivement être considérées comme distinctes : deux sacs vides sont bien deux sacs distincts!). Donc au départ on parle d'(au moins) un ensemble vide, puis on démontre (extensionalité) qu'il n'y en a qu'un.
D'ailleurs l'axiome dit "de l'ensemble vide" affirme seulement une existence et pas l'unicité.
Concrètement, le dernier alinéa du paragraphe "Propriétés", convenablement modifié ("Nous disons l'ensemble vide et pas un ensemble vide car ...") devrait remonter dans l'intro. Les propriétés suivraient alors logiquement.
-- Fr.Latreille 23 février 2007 à 21:37 (CET)
[modifier] Ensemble vide ou non-ensemble ?
Si l'ensemble vide est un ensemble, alors il se contient lui-même et l'on a :
Card {ensemble vide} = 1.
Mais, dans ce cas, l'ensemble vide n'est pas vide (puisque, par définition, l'ensemble vide ne contient aucun élément).
Donc l'ensemble vide est un non-ensemble et il ne se contient pas lui-même. C'est-à-dire qu'on ne peut avoir :
Card {ensemble vide} = 1.
Mais, dans ce cas, N est vide (puisque, par définition, tout ensemble se contient lui-même).
Ianop 11 mars 2007 à 16:04 (CET)
- Aucun ensemble ne se contient lui-même. L'ensemble vide ne contient aucun élément ; son "cardinal", nombre d'éléments, est 0.
Ekto - Plastor 11 mars 2007 à 17:59 (CET)
Malheureusement, dans l'expression : {{ }}, l'ensemble vide se contient bien lui-même... Et l'ensemble des dix premiers entiers non nuls contient bien l'entier 10 ... Tout ensemble contient son cardinal. L'ensemble vide, de cardinal 0, contient donc son cardinal (zéro), et il n'existe pas d'ensemble absolument vide. C'est d'ailleurs une chance pour l'arithmétique, car sinon il n'y aurait pas d'arithmétique (ni d'Univers ...).
Ianop 18 mars 2007 à 10:43 (CET)
- ton ensemble contient un élément mais pas lui-même. C'est impossible qu'il s'appartienne comme l'a dit Ekto.
- {{ }} différent du vide car il contient { } et { } différent de {{ }}. Oxyde 18 mars 2007 à 11:14 (CET)
Je suis d'accord que {} est différent de {{}}, mais {} n'est pas différent de {}. Si {} est "un élément", de quel élément s'agit-il ? Il ne s'agit pas ici d'un singleton ordinaire, mais d'un ensemble d'ensemble.
Je pars du principe que l'ensemble vide est obligatoirement partie et élément de lui-même, car sinon N est impossible à construire :
Card {{ }} implique 1
(C'est d'ailleurs ce qui garantit son unicité).
Il n'existe aucune solution définitive au paradoxe de Russell. La "solution" consistant à affirmer qu'aucun ensemble ne s'appartient lui-même est une convention commode permettant d'échapper à l'auto-référence. Mais l'autre solution est également possible, à savoir que pour tout ensemble A on a :
A = {A}
Ianop 19 mars 2007 à 11:40 (CET)
- Ianop: si tu pars d'un principe qui t'est personnel ("je pars du principe que.."), tu aboutiras à ce que tu veux, mais personne n'est obligé de te suivre.
- En Mathémtiques d'une part, et sur une encyclopédie d'autre part, on cherche des principes communs, et on essaie de s'y tenir.
- Alors admets que quelques milliers de gens qui ont bossé là-dessus depuis un siècle ont bien établi que la différence entre inclusion et appartenance est essentielle à la théorie des ensembles, ou va faire tes inventions ailleurs.
- Merci d'avance. -- Fr.Latreille 19 mars 2007 à 14:20 (CET)
- PS pou Ekto: je ne crois pas qu'il soit logiquement exclu que puisse exister un ensemble qui serait élément de lui-même, même si l'exhiber semble problématique.
Latreille : tout axiome est au départ intuitif. Je reconnais que la phrase "je pars du principe..." est maladroite. Et je n'oblige personne à me suivre. Mais il me semble impossible de ne pas s'interroger sur le bien-fondé de "l'ensemble vide ne contenant aucun élément", car c'est de ce concept que tout démarre. Je te défie de construire l'ensemble N sans avoir recours au concept d'auto-référence de l'ensemble vide. Et ce n'est pas en refoulant ce concept que nous pourrons trouver une solution pertinente au paradoxe de Russell. Il n'y a pas des milliers de gens qui ont bossé sur ce problème (ton argument n'est pas très mathématique), mais seulement quelques-uns qui ont été suivis par des milliers (dont toi probablement), ce qui est très différent. Et encore ces "quelques-uns" ont reconnu que la solution idéale n'existe pas (il faut lire autre chose que les bouquins de classe). Je suis d'accord pour chercher des principes communs, ou tout au moins pour les exposer, dans la mesure où cette exposition est suivie d'une discussion dépassionnée et non partisane. Les maths comme tout le reste du savoir sont en perpétuelle évolution (surtout depuis Gödel). On peut se mettre d'accord sur des principes communs, mais aussi sur les lacunes sous-entendues à ces principes, car ce sont les "trous" qui permettent d'avancer, non les pleins. L'inconvénient avec ton "raisonnement" est qu'il interdit à toute personne non diplômée de réfléchir par elle-même - ce qui est en soi une forme d'intégrisme intellectuel.
PS : l'inclusion et l'appartenance sont confondues dans l'auto-référence (c'est logique). Il ne s'agit pas d'une confusion de ma part, comme tu sembles le penser. Trop souvent la terminologie est cause de malentendus. Ce qui passe pour un problème de mathématique est en fait un banal (mais tenace) problème linguistique. Lorsque je dis qu'un ensemble se contient lui-même, je veux dire qu'il est à la fois partie et élément de lui-même. Si l'on veut dire qu'un ensemble E contient des éléments, on dira "comprend" (ou "possède", bien que ce terme ait quelque chose de matérialiste) et non "contient" (puisque le terme "contient" est réservé à l'inclusion).
Ianop 22 mars 2007 à 10:07 (CET)
- La discussion avec toi est a priori sans fin. J'essaie encore un coup, mais je n'irai pas plus loin.
- « tout axiome est au départ intuitif »: du temps des Grecs, oui. Depuis quelques décades, c'est fini. Il n'y a rien de moins intuitif qu'un axiome dans la formalisation ZF. Si tu ne veux pas jouer ce jeu, encore une fois, fais ton petit truc dans ton coin, mais tu développeras autre chose que ce que TOUS les Mathématiciens actuels appellent "Théorie des ensembles", et tu ne résoudras aucun des paradoxes de cette théorie (s'il en reste), puisque tu te situeras en dehors d'elle.
- « s'interroger sur le bien-fondé de "l'ensemble vide ne contenant aucun élément", car c'est de ce concept que tout démarre »: "l'ensemble vide ne contenant aucun élément" n'est pas un concept (il y a peu de 'concepts' en Mathématiques), et n'est aucunement initial dans la théorie. C'est une conséquence (nécessaire) de l' axiome de séparation, qui, lui, est fondamental (plus l' extensionalité pour en assurer l'unicité). Contestes-tu cet (ces) axiome(s)? As-tu une axiomatique de remplacement? Si on ne peut plus construire un sous-ensemble à partir d'une propriété, et en vérifier l'unicité, il n'y a plus guère de théorie des ensembles..
- « il faut lire autre chose que les bouquins de classe »: merci, j'ai derrière moi 40 ans comme prof de Fac, j'ai travaillé en bibliothèque et dans des séminaires, je connais ce qui a été écrit et dit sur la question.
- « L'inconvénient avec ton "raisonnement" est qu'il interdit à toute personne non diplômée de réfléchir par elle-même »: j'ai dans ces mêmes 40 années aidé des milliers d'étudiants à réfléchir par eux-mêmes, mais en sachant que personne, à moins de s'appeler Pascal ou Archimède (et encore..), ne part de zéro pour tout reconstruire.
- « Lorsque je dis qu'un ensemble se contient lui-même, je veux dire qu'il est à la fois partie et élément de lui-même »: c'est ton discours, il est incompatible avec le nôtre (excuse ce pluriel, mais la communauté scientifique existe, et ce n'est pas a priori de l'« intégrisme intellectuel »). Continue si tu veux, pour moi c'est un discours autiste.
- --Fr.Latreille 23 mars 2007 à 22:55, modifié le 24 mars 2007 à 10:15 (CET)
Je continue alors.
Cordialement à toi, Ianop 25 mars 2007 à 15:45 (CEST)
