Doublet (optique)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Doublet.

En optique, un doublet est l'association de deux lentilles pour former un système optique. On le caractérise généralement par la position des centres optiques des lentilles. Ce type d'association permet de modéliser et de comprendre le fonctionnement d'un très grand nombre d'instruments d'optique.

[modifier] Doublet accolé

On parle de doublet accolé lorsque les centres optiques des deux lentilles sont confondus. Dans ce cas la longueur focale f' du doublet est donnée, si on appelle f'₁ et f'₂ les longueurs focales des deux lentilles, par :

$f'= \frac{f'_1 f'_2}{f'_1 + f'_2}$

[modifier] Formules

On appelle S₁ et S₂ les positions des centres optiques des lentilles et s₂ = S₁S₂ la distance les séparant.

Le point B a pour image le point B_i , qui sert lui-même d'objet à la lentille 2, qui en fait une image finale B_i2 Les deux formules de base sont :

ƒ_o / x + ƒ_i / x_i = 1

dite de Descartes, et celle donnant le grandissement

Γ = y_i / y.

Elles peuvent s'écrire sous la forme :

$x_i = \frac{f_i \cdot x}{(x-f_o)}$ et $y_i=\frac{f_i \cdot y}{(x-f_o)}$

Ces formules permettent de construire l'image B_i par la détermination par le calcul algébrique de ses coordonnées x_i et y_i à partir des coordonnées x et y d'un point objet B.

[modifier] Points principaux d'un doublet

Sur la figure ci-dessous, l'objet B est sur une droite parallèle à l'axe Ox (y est constant), qui coupe la première lentille en un point I. Son image B'₁ est sur la droite IF'₁.

B, O₁ et B'₁ sont alignés puisque les rayons passant par O₁ ne sont pas déviés.

Le point B'₁ sert alors d'objet à la deuxième lentille en utilisant les mêmes formules avec bien sûr en prenant comme origine l'abscisse O₂ de la deuxième lentille ; l'image finale B' se trouve sur la droite JF' _2s où J est l'intersection de IF' ₁ avec la deuxième lentille.

B' ₁, O₂ et B' ₂ sont alignés puisque les rayons passant par O₂ ne sont pas déviés.

Reste à constater que le lieu de l'image finale B' ₂ est une droite passant par F' , foyer image de l'ensemble, et que ce point F' est l'image du foyer image F' ₁ de la première lentille par la deuxième lentille, soit d'après la formule de Newton vérifiant :

F₂F' ₁ × F' ₂F' = ƒ₂ × ƒ'₂

Notons au passage que le foyer objet F du doublet a pour image par la première lentille le foyer objet F₂ de la deuxième lentille, ce qui s'écrit :

F ₁F × F' ₁F₂ = ƒ₁ × ƒ'₁

F₁ foyer objet de la première lentille a pour image par l'ensemble du doublet le foyer image de la deuxième lentille F' ₂ ; ceci s'écrit :

FF ₁ × F'F' ₂ = - ƒ₁ · ƒ'₁ · ƒ₂ · ƒ'₂ / (F' ₁F₂)² = ƒ₁ · ƒ₂ / F' ₁F₂ × ƒ' ₁ · ƒ'₂ / F₂F' ₁

C'est avec ces formules que l'on peut vérifier la position des points dits cardinaux sur la figure ci-dessous.

[modifier] Figures géométriques

Ci-dessous une animation où en gris sont représentées les lentilles minces. L'animation montre, par la construction géométrique:

en rouge: comment procéder pour trouver les foyers et plans principaux du doublet.
puis en bleu: comment trouver l'image B' finale en trouvant d'abord B'1 produit par L1 et qui sert d'objet pour L2.