Distribution de Dirac

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant l'analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

L'exemple canonique de distribution est la distribution de Dirac, qu'on peut s'imaginer, de façon informelle, comme une fonction de R dans R qui vaudrait zéro partout, sauf à l'origine, et dont l'intégrale sur R vaudrait 1 (en réalité, aucune fonction ordinaire n'a ces propriétés).

$\int \delta(t) \ dt \ = \ 1$

Cette distribution sert en physique à décrire des événements ponctuels. Pour les besoins du formalisme quantique, Dirac a introduit un objet singulier, qu'on appelle aujourd'hui impulsion de Dirac, notée $δ(t)$ . En outre, cette impulsion représente un signal de durée théoriquement nulle et d'énergie finie.

Le delta de Dirac (appelé aussi fonction delta de Dirac) est la distribution qui envoie une fonction test $\varphi$ sur $\varphi(0)$ . C'est la dérivée de la fonction de Heaviside, $H$ définie par $H (x) = 0$ si $x < 0$ et par $H (x) = 1$ si $x \ge 0$ . C'est une mesure discrète de probabilité : celle dont toute la masse est concentrée à l'origine.
La dérivée du delta de Dirac est la distribution qui envoie une fonction test $\varphi$ sur $-\varphi'(0)$ . Cette dernière distribution est notre premier exemple de distribution qui ne soit ni une fonction ni une mesure.

Sommaire

1 Propriétés
- 1.1 Convolution
- 1.2 Transformée de Fourier
2 Distribution de Dirac en dimension supérieure
3 Articles connexes

[modifier] Propriétés

[modifier] Convolution

Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,$ une fonction continue, on a alors :

$\int _{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0).f(t) \ dt \ = \ f(t_0) \,$

La distribution de Dirac est donc un élément neutre pour l'opération de convolution, notée $*\,$

$f*\delta=f\,$

[modifier] Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la distribution de Dirac est la fonction constante égale à un

$\hat{\delta}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\ \delta(t)\ e^{-i\omega t}\ {\rm d}t=1 \,$

Ce qui est utilisé en traitement du signal notamment. On dit qu'un signal correspondant à une distribution de Dirac a un spectre blanc. C’est-à-dire que chaque fréquence est présente avec une intensité identique. Cette propriété permet d'analyser la réponse fréquentielle d'un système sans avoir à balayer toute les fréquences.