Dilatation du temps

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La dilatation du temps est un effet de relativité restreinte selon lequel une horloge animée d'une certaine vitesse par rapport à un référentiel que nous qualifierons de fixe sera vue battre le temps à un rythme plus lent quand on le rapporte à celui des horloges de ce référentiel. Pour dire les choses (trop) rapidement : une horloge en mouvement retarde.

Ce phénomène de ralentissement des horloges se présente aussi en relativité générale, mais d'une autre façon : les horloges plus proches d'un corps massif retardent par rapport à celles qui en sont plus éloignées.

[modifier] En relativité restreinte

[modifier] Survol

Pensons à une horloge embarquée dans une fusée et lue par des observateurs fixes (disons terrestres, au repos par rapport à la Terre) répartis le long de sa trajectoire au moment où elle passe devant chacun d'eux. La formule donnant la dilatation du temps en relativité restreinte est :

$\Delta t = \gamma \Delta \tau \!$

où

Δτ est l'intervalle de temps mesuré avec l'horloge « en mouvement » de la fusée,

Δt est l'intervalle de temps mesuré par les observateurs terrestres,

$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}$ est le facteur de Lorentz,

v est la vitesse de la fusée par rapport à la Terre et c la vitesse de la lumière.

Suivie par des horloges réparties sur son chemin, l'horloge en mouvement semble avoir subi une augmentation de la durée de son cycle.

Cet effet est négligeable pour de faibles vitesses et c'est la raison pour laquelle la correction n'intervient pas dans la vie courante et que le phénomène n'est pas perceptible d'ordinaire. En revanche dès qu'un objet atteint une vitesse de l'ordre du 1/10 de celle de la lumière, ou lorsque la précision demandée est importante, comme dans un GPS, l'effet relativiste est notable et peut même devenir colossal si v se rapproche tout près de la valeur c.

La dilatation du temps par le facteur de Lorentz a été prédite par Joseph Larmor (1897), au moins pour les électrons en orbite autour d'un noyau. Il a écrit

« Les électrons individuels décrivent les parties correspondantes de leurs orbites en un temps plus court que le système [au repos] dans le rapport $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . »

La grandeur de la dilatation du temps correspondant au facteur Lorentz a été expérimentalement confirmée.

[modifier] Calcul

Considérons deux événements, par exemple l'émission de deux éclairs, séparés par l'intervalle Δτ mesuré dans la fusée. Les éclairs sont émis alors que la fusée passe devant deux observateurs terrestres lisant l'heure sur leur montre et constatant que leurs lectures diffèrent du temps Δt . Comme la fusée se déplace à la vitesse v par rapport à la Terre, la distance entre ces deux observateurs terrestres concernés est de v Δt. Les deux mêmes événements « éclairs » étant séparés par l'intervalle d'espace-temps (Δx =vΔt, Δt ) dans le repère terrestre et (0, Δτ ) dans le repère de la fusée, la relativité restreinte affirme que le carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements est le même dans les deux repères et que de ce fait l'égalité suivante est respectée :

$c^2 \Delta\tau^2 \,=\, c^2 \Delta{t}^2 - v^2 \Delta{t}^2\,.$

On en déduit aussitôt que :

$\Delta{t} = \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\;\Delta\tau \geqslant \Delta\tau$

comme il fallait le démontrer.

voir aussi Temps propre

[modifier] Vérifications expérimentales

On a observé que les particules instables se désintègrent plus lentement du point de vue de l'observateur lorsqu'elles se meuvent à grande vitesse par rapport à celui-ci, notamment dans les accélérateurs de particules.
Cet effet est également observé pour les muons atmosphériques produits par la collision des rayons cosmiques (particules très énergétiques en provenance de l'espace cosmique) et les molécules de l'atmosphère. Ces muons, animés d'une vitesse proche de celle de la lumière, atteignent le sol où ils sont observés et ce malgré leur courte durée de vie propre, la dilatation du temps leur donnant le temps nécessaire pour atteindre les détecteurs.
Un autre cas observé de dilatation temporelle est le décalage entre horloges atomiques au sol et en vol ; mais il se complique dans ce dernier cas de considérations gravitationnelles de sorte que le cadre de la relativité restreinte est insuffisant et qu'on doit considérer les effets de Relativité générale. Incidemment l'expérience réelle d'horloges atomiques embarquées en avion est une version réalisable, et souvent réalisée, de l'expérience des jumeaux, laquelle exploite l'effet de ralentissement des horloges en mouvement.
Signalons également que l'on observe aussi cette dilatation du temps sur la durée des courbes de luminosité des supernovae lointaines.

[modifier] Dilatation du temps et navigation imaginaire dans l'espace

Article détaillé : Paradoxe des jumeaux.

Avec la dilatation du temps, il serait mathématiquement possible (mais irréalisable en pratique !) qu'une horloge allant à une vitesse quasiment égale à celle de la lumière voyage dans le futur en vieillissant très peu. Ceci serait possible puisque l'horloge (mais aussi un être humain) qui se déplace vieillira moins vite que l'horloge stationnaire. Par exemple, à quelque 12 ans de voyage dans une fusée soumise à une accélération de 1 g correspondraient 100 000 ans sur Terre, et cette durée permettrait de traverser notre Galaxie (toujours en théorie !).

[modifier] En relativité générale

[modifier] Description du phénomène

En relativité générale, la courbure de l'espace-temps (c'est à dire la gravitation) ralenti le temps mesuré dans un champ de gravitation par rapport à celui mesuré hors champ de gravitation : si deux horloges sont identiques et que l'une a fait un séjour dans un champ de gravitation, alors elle retarde par rapport à l'autre, et ce d'autant plus que la gravitation a été forte.

[modifier] Exemple de la métrique de Schwarzschild

On sait que la métrique est $d s 2 = g i j d x i d x j$ . Dans le cas d'une masse à symétrie sphérique, on peut utiliser la métrique de Schwarzschild

$ds^2=\left(1-\frac{r_g}{r}\right).c^2dt^2 -\left(1-\frac{r_g}{r}\right)^{-1}dr^2-r^2(d \theta^2 +\sin^2 \theta d \phi^2),$ avec $r_g = \frac{2Gm}{c^2}$ le rayon de Schwarzschild de la masse sphérique, strictement inférieur au rayon

r

On en déduit $ds^2 =c^2d\tau^2 \leqslant \left(1-\frac{r_g}{r}\right).c^2dt^2$ . Ainsi $d\tau \leqslant \sqrt{1-\frac{r_g}{r}}.dt < dt$ où $d τ$ est l'élément infinitésimal de temps propre du corps, et $d t$ est celui du temps mesuré dans le référentiel de l'observateur, par hypothèse non soumis à la gravitation (sinon les formules sont différentes).

On peut dire que par la gravitation le temps propre est ralenti par rapport au temps du référentiel (qui est par hypothèse mesuré hors d'influence de la masse), ou que le temps impropre est dilaté par rapport au temps propre influencé par la gravitation.

[modifier] Résultats expérimentaux

En 1977, une expérience embarquant des horloges atomiques dans une fusée a confirmé les prévisions théoriques avec une précision de 0,01% . En 1964, Robert Vivian Pound et Glen Rebka ont pu vérifier expérimentalement que la différence d'altitude de 22,6 mètres d'une tour de l'Université de Harvard donnait une différence de fréquence de la lumière conforme aux prévisions de la relativité générale.^[1]