Différentielle exacte

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Une différentielle est dite exacte s'il existe une fonction dont elle dérive, c'est-à-dire s'il est possible de l'intégrer.

La différentielle ω définie sur un ouvert $U$ est dite exacte s'il existe une fonction $f$ différentiable sur $U$ telle que : ω $= d f,$ .

[modifier] Vue d'ensemble

En une dimension, une différentielle

$dQ = A(x)dx\,$

est toujours exacte. En deux dimensions, d'après la réciproque du théorème de Poincaré, une différentielle

$dQ = A(x, y)dx + B(x, y)dy\,$

est exacte sur un ouvert simplement connexe $U$ du plan $R 2$ , si et seulement si elle est fermée, c'est-à-dire qu'il existe entre A et B la relation:

$\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x} = \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y}$

En trois dimensions, une différentielle

$dQ = A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz\,$

est exacte sur un ouvert simplement connexe $U$ de l'espace $R 3$ s'il existe entre les fonctions A, B et C les relations:

$\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x,z} \!\!\!= \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y,z}$ ; $\left( \frac{\partial A}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial x} \right)_{y,z}$ ; $\left( \frac{\partial B}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial y} \right)_{x,z}$

Ces conditions, qui sont faciles à généraliser, reposent sur l'indépendance de l'ordre de différenciation dans le calcul des dérivés secondes (théorème de Schwarz). Donc pour qu'une différentielle dQ, qui est une fonction à quatre variables, soit une différentielle exacte, il y a six conditions à satisfaire.

En somme, quand une différentielle dQ est exacte:

la fonction Q existe;
$\int_i^f dQ=Q(f)-Q(i)$

En thermodynamique, quand dQ est exacte, la fonction Q est une fonction d'état du système. Les fonctions thermodynamiques U, S, H, A et G sont fonctions d'état. Généralement ni le travail ni la chaleur ne sont des fonctions d'état.

[modifier] References

Perrot, P. (1998). A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
Zill, D. (1993). A First Course in Differential Equations, 5th Ed. Boston: PWS-Kent Publishing Company.