Degré (angle)
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Le terme « degré » a été utilisé très tôt en métrologie pour désigner des unités, « augmenter d'un degré » signifie « ajouter une quantité étalon ».
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[modifier] Historique et généralités
Le degré, divisé en minutes et secondes qui sont des soixantièmes, vient des Babyloniens, qui comptaient en base 60 (sexagésimale). Les mathématiciens arabes ont poursuivi et mesuré les angles célestes et terrestres de la même manière. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a découlé.
L'utilité originelle des 360° du système sexagésimal est de faciliter le calcul des fractions (et des multiplications). En effet 360 étant le multiple de (1 × 2 × 3 × 4 × 5) 3, il se divise donc par ces multiples ainsi que par 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc. c'est-à-dire toutes les combinaisons de ces multiples.
Ainsi: 3/5 - 1/3 = 9/15 - 5/15 = 4/15 correspond à 216° - 120° = 96° ce qui est plus aisément calculable sans calculateur que 0.6 - 0.333... = 0.266... Avec une légère familiarisation, et cela tout en se passant de la méthode du commun dénominateur, on s'apercoit que le résultat 96° = 4 × 24° soit quatre quinzièmes. Une approche alternative aura aussi donné à voir que 90° + 6° est égal à un quart plus un soixantième.
Finalement du fait que 360° égale 0°, on se retrouve à calculer en modulo 360 lorsque l'on parle en degrés. On peut souvent opérer les calculs dans les modulos inférieurs que sont les multiplicateurs de 360. Au plus simple, sept demi-tours valent un demi-tour. En langage mathématique: 7 ≡ 1 (mod 2), sept est congru à un, modulo deux; et 7 × 180° = 1260° ≡ 180° (mod 360°). En pratique on se contente de dire sept fois cent quatre-vingt degrés est égal à cent quatre-vingt degrés. De même 120° + 270° = 390° ≡ 30° (mod 360°).
[modifier] Mesure d'angle
Le degré d'arc (symbole °) est une unité pratique d'angle plan. Un angle plat vaut 180°. Bien qu'en dehors du système international (SI), le degré est en usage avec lui.
Un degré vaut π/180 radians, 10/9 grades ou 160/9 mils, soit 1/360 d'un tour complet.
Les préfixes du SI sont rarement appliqués aux symboles du degré d'arc et de ses subdivisions (uniquement à la seconde d'arc, en fait) ; ces symboles sont également les seuls à ne pas être séparés du nombre les précédant par une espace : on doit écrire « 12° 30' » et non « 12 ° 30 ' ».
[modifier] Sous-unités
Article détaillé : Sous-unités du degré.Un degré est subdivisé en 60 minutes d'arc (symbole '), elles-mêmes divisées en 60 secondes d'arc (symbole ").
- 1' = 0,016 6...°
- 1" = 0,000 277...°
- 1''' = 0,000004629...°
On utilise aussi fréquemment la notation décimale : on notera plus volontiers « 1,1° » que « 1° 6' ».
[modifier] Précautions de lecture
Les fonctions trigonométriques sont indépendantes de l'unité angulaire choisie. Mais en analyse, les fonctions sont définies par les valeurs prises par les fonctions pour des variables exprimées en radians.
Pour x l'angle mesuré en degrés, on a donc sin(x°)=sin(x*π/180), et de même pour les autres fonctions trigonométriques.
En astronomie ou en optique, on utilise l'approximation 
pour les faibles angles (inférieurs à 5°).
Il est bien entendu que le sinus et la tangente d'un angle faible sont quasi-égaux à sa valeur en radians.
[modifier] À retenir pour les élèves et étudiants
- La minute désigne 1/60 degré, la seconde 1/60 minute d'arc, il n'y a aucun lien dans la définition avec les minutes et secondes horaires du cadran des montres.
- Les autres unités homonymes "minute", "seconde" d'ascension droite ou d'astronomie sont des mesures horaires utilisées surtout pour la mesure de la longitude céleste. En règle général, quand aucune précision n'est donnée, on parle de minutes et de seconde d'arc et non pas d'ascension droite. Même en astronomie, on utilise également les unités dérivées du degré: le parsec, par exemple, est défini par rapport à la seconde d'arc.
- De même, toute unité d'angle ou de direction angulaire qu'on appellerait "heure" n'a aucun lien dans sa définition avec les minutes et secondes d'arc (il y a plusieurs unités dont le nom comprend "heure": voir les pages respectives pour les rapports de conversion)
- Les fonctions trigonométriques peuvent être calculées à partir de la valeur de l'angle dans toute unité... à condition de vérifier que la calculatrice est convenablement réglée.
