Dérivation sous intégrale

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En mathématiques, en analyse, la dérivation sous le signe somme, ou dérivation sous intégrale, est un résultat établi à partir du théorème de Leibniz.

[modifier] Énoncé

Soit A et I deux intervalles de \mathbb{R}. Soit f une fonction de A × I à valeurs réelles ou complexes.

Si les conditions suivantes sont vérifées :

  • \forall x \in A ; t \to f(x,t) est continue par morceaux et intégrable sur I ;
  • \forall x \in A ; t \to \frac{ \partial f(x,t) }{ \partial x } existe et est continue par morceaux ;
  • \forall t \in I ; x \to \frac{ \partial f(x,t) }{ \partial x } est continue ;

Et si, de plus, il existe \varphi: I \to \mathbb{R}^{+} intégrable telle que :

\forall x \in A, \forall t \in I, \left| \frac{ \partial f(x,t) }{ \partial x } \right| \leq \varphi(t),

alors la fonction

F: x \to \int_I f(x,t)\,dt

est de classe \mathcal{C}^1 et

\forall x \in A, F'(x) = \int_I \frac{ \partial f(x,t) }{ \partial x }\,dt.