Découplage (automatique)

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Le but du découplage est de transformer les fonctions de transfert ou les représentations d'états multivariables pour pouvoir commander chaque sortie indépendamment des autres.

Soit le système : $\dot X = A \cdot X + B \cdot U$ et $Y = C \cdot X$ avec dim x = m; dim u = p; dim y = p

d'où : $Y = F(s) \cdot U(s)$ avec $F (s) = C (s I - A) - 1 B$

F est appelé matrice de transfert carré.

[modifier] Approche Fonction de transfert:

En boucle fermé: $Y (s) = [I . p + F (s). C (s)] - 1 F (s) C (s) Y d (s)$ avec Yd la consigne

Le découplage consiste à diagonaliser le fonction de transfert en boucle fermé (FTBF).

$F T B F = [I . p + F (s). C (s)] - 1 F (s) C (s)$

Donc le correcteur C(s) doit vérifier: $[I p + F (s) C (s)] - 1 F (s) C (s) = Ω(s)$ avec $Ω(s)$ = matrice diagonale de $λ 1 (s)...λ n (s)$

On a donc : $C (s) = F (s) - 1 Ω(s)[I - Ω(s)] - 1$

[modifier] Approche représentation d'état :

Soit le système : $\dot X = A \cdot X + B \cdot U$ et $Y = C \cdot X$

on a $y = \begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_p\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C_1^T\\\vdots\\C_p^T\end{bmatrix}X$

Pour $y 1$ : $y_1 = C_1^T.x$

$\dot y_1 = C_1^T.\dot x = C_1^T(Ax+Bu) = C_1^T.A.x + C_1^T.B.u$

Si $C_1^T.B = 0$ alors $\dot y_1 = C_1^T.A.x$

d'ou : $\ddot y_1 = C_1^T.A.x = C_1^T.A(Ax+Bu) = C_1^T.A^2x + C_1^TABu$

Si $C_1^T.A.B = 0$ alors $\ddot y_1 = C_1^T.A^2.x$

...

soit j le plus petit entier tel que $C_1^TA^jB \not= 0$

alors $y_1^{(j+1)}(t)=C_1^TA^{j+1}x+C_1^TA^jBu$

De meme pour les autres sorties : $y_i^{(d_i+1)}(t)=C_i^TA^{d_i+1}x+C_i^TA^{d_i}Bu$

On obtient $\begin{bmatrix}y_1^{d_1+1}\\\vdots\\y_p^{d_p+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C_1^TA^{d_1+1}\\\vdots\\C_p^TA^{d_p+1}\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix}C_1^TA^{d_1}B\\\vdots\\C_p^TA^{d_p}B\end{bmatrix}u = v$