Critère d'Euler

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En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le critère d'Euler est utilisé en théorie des nombres pour déterminer si un entier donné est un résidu quadratique modulo un nombre premier.

[modifier] Définition

Considérons un nombre premier impair p et un entier a premier avec p ; alors le critère d'Euler s'énonce de la façon suivante :

si a est un résidu quadratique modulo p (c'est-à-dire s'il existe un entier k tel que k² ≡ a (mod p)), alors $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod p$
si a n'est pas un résidu quadratique modulo p alors $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \pmod p$ .

ce qui s'écrit également, en utilisant le symbole de Legendre, de la façon suivante :

$\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}\pmod p$

[modifier] Démonstration du critère d'Euler

D'une part, nous considérons que a est un résidu quadratique modulo p. Nous trouvons k tel que k² ≡ a (mod p). Alors a^{(p − 1)/2} = k^{p − 1} ≡ 1 (mod p) par le petit théorème de Fermat.

D'autre part, nous considérons que a^{(p − 1)/2} ≡ 1 (mod p). Alors, soit α un élément primitif modulo p, autrement dit a = αⁱ. Donc, α^{i(p − 1)/2} ≡ 1 (mod p). Par le petit théorème de Fermat, (p − 1) divise i(p − 1)/2, donc i doit être pair. Soit k ≡ α^i/2 (mod p). Nous avons finalement k² = αⁱ ≡ a (mod p).

[modifier] Exemples

Exemple 1 : Trouver les nombres premiers pour lesquels a est un résidu

Soit a = 17. Pour quels nombres premiers p, 17 est-il un résidu quadratique ?

Nous pouvons tester les nombres premiers p' donnés manuellement par la formule précédente.

Dans un cas, testons p = 3, nous avons 17^{(3 − 1)/2} = 17¹ ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3), par conséquent 17 n'est pas un résidu quadratique modulo 3.

Dans un autre cas, testons p = 13, nous avons 17^{(13 − 1)/2} = 17⁶ ≡ 1 (mod 13), par conséquent 17 est un résidu quadratique modulo 13. Comme confirmation, 17 ≡ 4 (mod 13) et 2² = 4.

Nous pouvons faire ces calculs plus rapidement en utilisant l'arithmétique modulaire et les propriétés du symbole de Legendre.

Si nous calculons les valeurs, nous trouvons :

(17/p) = +1 pour p = {13, 19, ...} (17 est un résidu quadratique modulo ces valeurs)

(17/p) = −1 pour p = {3, 5, 7, 11, 23, ...} (17 n'est pas un résidu quadratique modulo ces valeurs)

Exemple 2 : Trouver les résidus avec un module premier p donné.

Quels nombres sont les carrés modulo 17 (résidus quadratiques modulo 17) ?

Nous pouvons calculer manuellement :

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25 ≡ 8 (mod 17)

6² = 36 ≡ 2 (mod 17)

7² = 49 ≡ 15 (mod 17)

8² = 64 ≡ 13 (mod 17)

Donc, l'ensemble des résidus quadratiques modulo 17 est {1,2,4,8,9,13,15,16}. Notez que nous n'avons pas besoin de calculer les carrés pour les valeurs de 9 à 16, comme elles sont toutes négatives par rapport à la valeurs carrée précédente (c.a.d. 9 ≡ −8 (mod 17), so 9² = (−8)² = 64 ≡ 13 (mod 17)).

Nous pouvons trouver les résidus quadratique ou les vérifier en utilisant la formule précédente. Pour tester si 2 est un résidu quadratique modulo 17, nous calculons 2^{(17 − 1)/2} = 2⁸ ≡ 1 (mod 17), donc elle est un résidu quadratique. Pour tester si 3 est un résidu quadratique modulo 17, nous calculons 3^{(17 − 1)/2} = 3⁸ = 16 ≡ -1 (mod 17) donc, il n'est pas un résidu quadratique.

Le critère d'Euler est relié à la loi de réciprocité quadratique et est utilisé dans la définition des nombres pseudo-premiers d'Euler-Jacobi.