Cohomologie de De Rham
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété, et, en un certain sens, d'une théorie duale de l'homologie singulière.
Sommaire |
[modifier] Théorie locale
Soit M une variété différentielle, et l'ensemble des formes différentielles ω de degré p sur M. Il a une structure de fibré vectoriel sur M.
Soit d l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles :
qui associe à la forme différentielle ω de degré p sa dérivée extérieure dω, forme différentielle de degré p + 1.
[modifier] Forme fermée
Lorsque dω = 0, on dit que la forme différentielle ω est fermée.
[modifier] Forme exacte
Lorsque ω = dα, on dit que la forme différentielle ω est exacte.
[modifier] Lemme de Poincaré
On sait que l'opérateur d est nilpotent : d2 = 0. On en déduit que :
Théorème — Toute forme différentielle exacte est fermée.
Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :
Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.
Plus précisément, toute forme fermée sur un ouvert étoilé, ou sur un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, est exacte. (Rappelons que est un étoilé s'il existe un point a tel que pour tout , le segment [a,x] soit inclus dans U). Une boule ou un convexe sont étoilés.
[modifier] Théorie globale
La réciproque de la propriété ci-dessus est fausse. Par exemple, sur le plan privé de l'origine, la forme est fermée, mais non exacte.
[modifier] Notations
- Zp(M) l'espace des p-formes fermées.
- Bp(M) le sous-espace des p-formes exactes.
[modifier] Définition : groupes de cohomologie (de De Rham)
On définit le p-ème groupe de cohomologie de De Rham Hp(M) comme étant l'espace quotient de Zp(M) par Bp(M) :
c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.
En introduisant la notation suivante pour la dérivation extérieure :
qui précise le degré de la forme dérivée obtenue, on peut écrire également :
où ker désigne le noyau, et im l'image des opérateurs respectifs.
[modifier] Exemples
- , où c désigne le nombre de composantes connexes de M.
- Si M est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension n, alors Hn(M) est de dimension 1.
- Si M., n'est pas orientable (les autres hypothèses restant les mêmes), Hn(M) = 0
- Hk(Sn) = 0 pour 0 < k < n
[modifier] Voir aussi
- Homologie
- Homologie singulière
- Homologie cellulaire
- Cohomologie de Dolbeault
[modifier] Bibliographie
[modifier] Ouvrages de mathématiques
- William Fulton ; Algebraic Topology: A First Course, Graduate Texts in Mathematics 153, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94327-7.
- Raoul Bott & Loring W. Tu ; Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 82, Springer-Verlag (3e tirage corrigé - 1995), ISBN 0-387-90613-4.
- Glen E. Bredon ; Topology & Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer-Verlag (1993), ISBN 0-387-97926-3.
- Jacques Lafontaine ; Introduction aux variétés différentielles, Press Universitaires de Grenoble 1996
[modifier] Ouvrages pour physiciens théoriciens
- Theodore Frenkel ; The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-38753-1.
- Mikio Nakahara ; Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing (1990), ISBN 0-85274-095-6.
- Charles Nash & Siddharta Sen ; Topology & Geometry for Physicists, Academic Press (1983), ISBN 0-12-514080-0.
- Yvonne Choquet-Bruhat & Cécile deWitt-Morette ; Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2e édition révisée - 1982), ISBN 0-444-86017-7.