Champ équiprojectif
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Dans un espace affine euclidien E, un champ de vecteurs 
est équiprojectif si :
où 
désigne le produit scalaire.
Il existe alors un endomorphisme antisymétrique u tel que :
-
.
Sommaire |
[modifier] Démonstration
[modifier] Antisymétrie
Soit O un point arbitraire de E. Pour tout vecteur 
, il existe un unique point P tel que 
et on définit u par 
.
Montrons que, pour tous vecteurs et 
, on a :
ce qui prouve l'antisymétrie de u.
On a en effet :
-
en utilisant l'équiprojectivité du champ V
en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.
Si on échange les rôles de et 
, on obtiendra :
On obtient bien :
[modifier] Linéarité
On déduit de l'antisymétrie que u est linéaire. En effet, pour tout , , λ, on a :
Cette égalité étant vraie pour tout , on en déduit que :
On procède de même pour montrer que :
[modifier] Cas de la dimension 3, torseur
Dans une base orthonormée directe, u, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique
Si on nomme 
le vecteur de composantes 
, alors la matrice précédente est celle de l'application 
.
On a donc 
et donc
est le champ des moments d'un torseur de résultante .
[modifier] Exemple
L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si P et Q sont deux points du solides, et si on note d la distance entre P et Q, on a :
et en dérivant par rapport au temps :
où 
désigne la vitesse en un point.
Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur s'appelle vecteur instantané de rotation.
