Cercle de Mohr

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Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882.

Dans un graphique où l'axe horizontal représente l'amplitude de la contrainte normale et l'axe vertical représente l'amplitude de la contrainte de cisaillement, le cercle de Mohr est le lieu des états de contrainte en un point p lorsque le plan de coupe tourne autour du point p. Il s'agit d'un cercle centré sur l'axe horizontal dont les intersections avec l'axe horizontal correspondent aux deux contraintes principales au point p.

Sommaire


[modifier] Problématique

La rupture d'un matériau se fait toujours en cisaillement : l'effort nécessaire pour « arracher » les atomes est beaucoup plus important que celui nécessaire pour faire glisser les atomes les uns sur les autres (voir Déformation plastique). Pour une sollicitation données d'une pièce, il faut donc savoir dans quelle section la cission τ (tau) est maximale.

Nous prendrons les exemples d'un essai de traction simple puis d'un reservoir sous pression pour le montrer.

[modifier] Représentation

[modifier] Sollicitation uniaxiale

On réalise un essai de traction uniaxiale sur une éprouvette] de laquelle on va extraire en un point P une plaquette infiniment petite soumise à un effort uniformement réparti \vec{dF} sur une surface \vec{dS} orientée suivant l'axe \vec{x}. À l'équilibre la surface opposée (orientée suivant l'axe -\vec{x}) est soumise à un effort \vec{-dF}. Cet état est schématisé sur la figure suivante :

État d'équilibre uniaxial
État d'équilibre uniaxial

On notera \vec{\sigma}_{(P,\vec{x})}=\frac{\vec{dF}}{\vec{dS}} la contraite au point P due à l'effort \vec{dF} sur la surface \vec{dS} dans la direction \vec{x}. On notera son module \sigma_x=\frac{dF}{dS}. De la même manière le module de \vec{\sigma}_{(P,\vec{x})} : σy = 0.

On remarquera que le cisaillement est nul sur les deux surfaces considérées, les directions \vec{x}, \vec{y} sont donc principales et σx, σy sont les valeurs des contraites principales.

On détermine maintenant l'état de contrainte sur une face qui aurait tourné de α comme représenté sur le schéma suivant :

État de contraintes sur une face orientée par
État de contraintes sur une face orientée par \vec{n1}

On a les contraites suivantes :

\overrightarrow{\sigma}(P,\overrightarrow{n_1})= \begin{cases} \sigma_{\overrightarrow{n1}} = \dfrac{dF \cos \alpha}{\dfrac{dS}{\cos \alpha}}=\sigma_x \cos^2 \alpha\\ \\ \tau_{\overrightarrow{n1}} = \dfrac{-dF \sin \alpha}{\dfrac{dS}{\cos \alpha}}=\sigma_x \sin \alpha \cos \alpha = -\dfrac{1}{2} \sigma_x \sin 2 \alpha \end{cases}

C'est l'équation d'un cercle de centre (\frac{\sigma_x}{2},0) et de diamètre σx. Lorseque l'on tourne de − 2α sur le cercle on tourne de α dans la matière. On a la représentation ci après :

Cercle de Mohr de la traction pure
Cercle de Mohr de la traction pure

On observe que le cisaillement est maximal : \tau=+/-\frac{\sigma_x}{2} suivant des direction à -/+45°, ce qui justifie les observations.

[modifier] Sollicitation biaxiale

[modifier] Sollicitation triaxiale

Dans ce cas la représentation ne présente pas un grand interêt car les lieux du vecteur contrainte ne sont plus sur un cercle mais sur la surface délimitée par l'intersection des cercles.

[modifier] Essais

[modifier] Compression sur béton

Ci après la photo d'un essai de compression sur béton mettant en évidence le cône de rupture approximativement à 45 °.

[modifier] Traction sur acier doux

Ci après la photo d'un essai de traction sur un acier doux.La rupture suivant une ligne à 45° est parfaitement illustrée.