Catégorie monoïdale

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En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie.

[modifier] Définition

Une catgéorie monoïdale est une catégorie $\mathcal{C}$ munie :

D'un bifoncteur

$\otimes : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}$

appelé produit tensoriel.

D'un objet $I$ appartenant à $\mathcal{C}$ appelé objet unité.
D'une transformation naturelle $α$ appelé associateur telle que pour tous objets $A, B, C$ , $α A, B, C$ soit un isomorphisme de $(A \otimes B) \otimes C$ vers $A\otimes(B \otimes C)$ . Autrement dit, $α$ est un isomorphisme naturel du foncteur $(-\otimes -) \otimes -$ vers le foncteur $-\otimes (- \otimes -)$ .
De deux transformations naturelles $λ,ρ$ telles que pour tout objet $A$ , $λ$ et $ρ$ induisent des isomorphismes $\lambda_A: I \otimes A \longrightarrow A$ et $\rho_A: A \otimes I \longrightarrow A$ .

Les conditions de cohérence pour ces transformations naturelles s'expriment par la commutativité des diagrammes suivants:

[modifier] Exemples

Si $k$ est un corps, la catégorie des $k$ -espaces vectoriels munie du produit tensoriel usuel est une catégorie monoïdale.
Plus généralement, si $R$ est un anneau commutatif, la catégorie des $R$ -modules munie du produit tensoriel usuel est une catégorie monoïdale.

Si $A$ est une algèbre, la catégorie des $A$ -modules n'est pas une catégorie monoïdale en général. Il faut des conditions supplémentaires sur $A$ , par exemple que $A$ soit une algèbre de Hopf.