Catégorie groupoïde

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En mathématiques – plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique – la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par le mathématicien Heinrich Brandt en 1926.

Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés.

Sommaire

[modifier] Définition

Un groupoïde est une catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme (c'est-à-dire est inversible).

[modifier] Définition algébrique

Un groupoïde est un ensemble muni de deux opérations: une loi de composition partiellement définie * et une application (partout définie) −1, qui satisfont les trois conditions sur les éléments f, g et h de G:

  • Chaque fois que f * g et g * h sont définis simultanément, alors (f * g) * h et f * (g * h) sont aussi définis, et sont égaux, on les note fgh ou f * g * h.
  • f − 1 * f et f * f − 1 sont toujours définis (mais éventuellement différents).
  • Chaque fois que f * g est défini, alors f * g * g − 1 = f, et f − 1 * f * g = g. (Ces expressions sont bien définies d'après les axiomes précédents).

On montre alors que

  • (f − 1) − 1 = f
  • Si x * f = u * f alors x = u
  • Si f * y = f * v alors y = v

Les objets de la catégorie associée sont les x = f − 1 * f lorsque f varie (on remarque que ces éléments vérifient : x − 1 = x = xn). L'ensemble des morphismes x->y, noté G(f − 1 * f,g − 1 * g) = G(x,y), est l'ensemble des h tels que y * h * x est défini (cet ensemble pouvant être vide).

[modifier] Exemples

  • Les groupes sont des groupoïdes (avec un seul objet x et pour ensemble de flèches (morphismes) G(x,x) = G).
  • Le groupoïde de poincaré est un groupoïde.
  • En algèbre linéaire, le groupoïde GL * (K) des matrices carrées inversibles (de taille quelconque), l'ensemble des objets étant l'ensemble des entiers naturels, G(n,n)=GL(n,K), les matrices formant les morphismes.
  • A partir d'une action de groupe on peut définir un groupoïde en posant G(x,y)=les éléments de G qui envoient x en y.

[modifier] Propriétés

Les (petits) groupoïdes forment eux-même une catégorie, les morphismes étant les foncteurs entre groupoïdes.

Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence x\equiv{}\,y si G(x,y) est non vide, elle définit un groupoïde quotient noté π0(G). π0 définit un foncteur (composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.

Soit G un groupoïde, et x un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de G(x,x) restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note π1(G,x) ce groupe.