Brook Taylor
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Brook Taylor est un éclectique homme de sciences anglais, né à Edmonton (Angleterre) le 18 août 1685, et mort à Londres le 29 décembre 1731. Il s'intéressa aux mathématiques, à la musique, la peinture et la philosophie.
En 1712 Taylor fut admis à la Royal Society de Londres (l'équivalent de l'Académie des sciences de Paris). C'était le 3 avril, et il est clair que son élection fut plus basée sur une expertise de Machin, Keill et d'autres illustres, que sur les publications de ses résultats. Ainsi Taylor écrivit à Machin en 1712 pour lui fournir la solution d'un problème concernant la deuxième loi de Kepler sur les mouvements des planètes. En 1712 également, il fit partie d'un comité pour départager Isaac Newton et Leibniz.
En 1714 Taylor fut élu secrétaire de la Royal Society, et il y resta du 14 janvier 1714 au 21 octobre 1718, lorsqu'il dut se résigner pour raisons de santé d'une part, d'autre part par manque de motivation. La période où il fut secrétaire de la Royal Society de Londres fut celle de sa vie où il fut le plus productif en mathématiques. Il publia deux ouvrages en 1715, Methodus incrementorum directa and reversed et Linear Perspective qui sont extrêmement important pour l'histoire des mathématiques. Deux secondes éditions furent publiées, respectivement en 1717 et en 1719.
Taylor fit de nombreux séjours en France. C'était d'une part suite à des problèmes de santé et d'autre part pour rendre visite à des amis. Il rencontra Pierre Rémond de Montmort et correspondit avec lui sur différents sujets de mathématiques après son retour. Ils discutèrent en particulier des séries infinies et de probabilités. Taylor correspondit aussi avec Abraham de Moivre sur les probabilités. À cette époque, ces mathématiciens communiquèrent beaucoup à trois.
Il ajouta aux mathématiques une nouvelle branche appelée « calcul de différences finies », inventa l'intégration par partie, et découvrit les séries appelées « développement de Taylor ». Ses idées furent publiées dans son livre de 1715, Methodus incrementorum directa and reversed. En fait, la première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd'hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d'où lui est venue cette idée, c'est à dire d'un commentaire que fît Machin au Child's Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton » pour résoudre un problème de Kepler, et utilisant également « les méthodes de Dr. Halley pour extraires les racines » d'équations polynomiales. Il y a en fait deux versions du théorème de Taylor données sur le papier de 1715. Dans la première version, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d'approximation de racines de l'équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des series de Bernoulli. C'est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionales dans les séries infinies. Taylor était le premier a découvrir ce résultat !
James Gregory, Isaac Newton, Leibniz, Johann Bernoulli et de Moivre ont tous découvert une variante du théorème de Taylor. Tous ces mathématiciens ont fait leurs découvertes séparemment, et le travail de Taylor était aussi indépendant de celui des autres. L'importance du théorème de Taylor ne fut pas perçue avant 1772 quand Lagrange proclama que c'était le principe de base du calcul différentiel ! Le terme « série de Taylor » semble avoir été utilisé pour la première fois par Lhuilier en 1786. Taylor présenta aussi les principes de base de la perspective dans Linear Prospect (1715). La seconde édition fut appelée New principles of linear perspective.
