Bel

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Le bel (symbole B), bien qu’en dehors du système international (SI)^[1], est en usage avec lui. Plus formellement, le bel est une unité sans dimension, exprimant l’ordre de grandeur (positif ou négatif) du rapport entre les valeurs absolues de deux mesures de même dimension, une de ces deux mesures étant une valeur de référence.

Il est utilisé pour exprimer la valeur de grandeurs logarithmiques sans dimension telles que le niveau de champ, le niveau de puissance, d’intensité sonore, de niveau de pression acoustique ou d’atténuation. Les logarithmes de base dix sont utilisés pour obtenir les valeurs numériques des grandeurs exprimées en bels. Pour de plus amples informations, voir la norme internationale ISO 31.

Il a été nommé en l’honneur de l'inventeur Alexandre Graham Bell.

C’est une unité logarithmique où une différence de 1 bel correspond à un rapport de 10 en puissance. On utilise plus couramment son sous-multiple le décibel (dB). Une différence d’un décibel correspond à un rapport de $10 1 / 10$ soit à peu près 1,259.

[modifier] Formulation

On calcule le niveau en bels ou décibels d’un signal $V$ par rapport à un second signal $V 0$ de même dimension avec les formules :

$B\left(V\right) = log_{10}{\left|\frac{V}{V_0}\right|} = log_{10}{\left|V\right|} - log_{10}{\left|V_0\right|}$

Comme un bel égale 10 décibels, pour convertir le bel en décibel, il suffit de le multiplier par dix, d'où :

$dB\left(V\right) = 10 \cdot log_{10}{\left|\frac{V}{V_0}\right|} = 10 \cdot log_{10}{\left|V\right|} - 10 \cdot log_{10}{\left|V_0\right|}$

Dans les formules ci-dessus, la valeur de mesure $V 0$ , est la mesure de référence. L’expression équivalente utilisant la différence des logarithmes permet de simplifier le calcul en ignorant la valeur constante de la mesure de référence, car alors il existe une simple relation affine, qui conserve la relation d’ordre entre les mesures, entre l’échelle en bels (ou décibels) et le simple logarithme de la mesure. Dès lors, le niveau en bels (ou décibels) établit bien l’ordre de grandeur permettant de comparer des mesures, cet ordre comprenant aussi la mesure de référence.

[modifier] Indépendance des unités de mesure

Lorsque le rapport est calculé entre deux valeurs de champ ou de tension (de sorte que la puissance transmise est proportionelle au carré de cette valeur), la formule est :

$B\left(V^2\right) = \log_{10}{\left|\frac{V^2}{V_0^2}\right|} = 2 \cdot \log_{10}{\left|\frac{V}{V_0}\right|}$

Autrement dit :

$B\left(V^2\right) = 2 \cdot B(V)$ , et de même : $dB\left(V^2\right) = 2 \cdot dB\left(V\right)$

On voit par conséquent que l’ordre de grandeur d'un rapport exprimé en bels ou décibels peut être calculé indépendamment du fait que les mesures sont effectuées sur la mesure des champs ou celle des puissances, à un facteur constant près.

De même, l’unité de mesure peut être choisie arbitrairement dans la dimension mesurée. En effet, si $\ V\$ est la valeur de la mesure exprimée dans l'unité $\ u\$ , et $\ V^\prime\$ est la valeur de la même mesure exprimée dans l’unité de même dimension $\ u^\prime\$ , de sorte que $1\ u = k\ u^\prime$ , où $\ k\$ est un facteur constant, alors :

$V^\prime = k \cdot V$ , et aussi : $V_0^\prime = k \cdot V_0$
$B\left(V^\prime\right) = \log_{10}{\left|\frac{k \cdot V}{k \cdot V_0}\right|}$ ,

et donc :

$B\left(V^\prime\right) = B\left(V\right)$ , et de même : $dB\left(V^\prime\right) = dB\left(V\right)$ .

Autrement dit, le niveau de n’importe quelle mesure physique qui ne dépend que d'une seule variable affine élémentaire peut être calculé et exprimé en bels ou décibels, quel que soit le choix des unités de mesure utilisées, de leur propre ordre de grandeur (facteur constant) et de leur dimension effective (puissance également constante), à un facteur constant près.

[modifier] Rapport signal / bruit

Si S est la mesure en tension ou en intensité d'un signal reçu, et N la part de bruit dans ce signal, le rapport signal / bruit se calcule ainsi :

$[S/N (dB)] = 10 \cdot \log_{10}\left|\frac{S}{N}\right|$

Ici, on mesure la qualité de réception ou de restitution d’un signal S par rapport à sa valeur initiale d’émission S₀, le bruit correspondant à la différence N entre les deux signaux :

$N\ =\ S - S_0$ .

Le rapport signal / bruit s’écrit alors aussi :

$[S/N (dB)]\ =\ 10 \cdot \log_{10}\left|\frac{S}{S - S_0}\right|\ =\ 10 \cdot \log_{10}\left|\frac{S_0}{N} + 1\right|$

Il s’indique en décibels. Il est infini ( $+\infin$ ) à la source du signal original (dont le bruit est nul), et ne peut que décroître lors de la transmission.

Un rapport signal / bruit nul traduit le fait que le signal reçu ne permet plus de discerner de façon fiable le signal original du bruit, leur puissances respectives étant égales. Si le rapport signal / bruit est négatif, on ne percevra que le bruit. La qualité d’un système de transmission ou de stockage d’information s’apprécie donc avec un rapport signal / bruit positif (ne serait-ce que faiblement) et le plus grand possible.

Le rapport signal / bruit en puissance se mesure lui en décibel-watts (dBW). C'est simplement le double du rapport signal / bruit en tension ou en intensité, car la puissance reçue est proportionelle au carré de la tension ou l’intensité induite et mesurée :

$[(S/N)^2 (dBW)] = 2 \cdot [S/N (dB)]$ .

[modifier] Valeurs usuelles utiles

Le gain de puissance d’un amplificateur se traduit en décibels :

+ 0,1 dB_W correspond à un gain légèrement inférieur à + 2,3 %.
+ 0,5 dB_W correspond à un gain légèrement supérieur à + 12,2 %.
+ 1 dB_W correspond à un gain légèrement supérieur à + 25,9 %.
+ 2 dB_W correspond à un gain légèrement supérieur à + 58 %.
+ 3 dB_W correspondent à un gain légèrement inférieur au facteur 2.
+ 6 dB_W correspondent à un gain légèrement inférieur au facteur 4.
+ 7 dB_W correspondent à un gain légèrement supérieur au facteur 5.
+ 9 dB_W correspondent à un gain légèrement inférieur au facteur 8.
+ 10 dB_W (ou + 1 B) correspondent à un gain de facteur 10 exactement.
+ 20 dB_W (ou + 2 B) correspondent à un gain de facteur 100 exactement.
+ 30 dB_W (ou + 3 B) correspondent à un gain de facteur 1 000 exactement.

Comme la puissance est proportionnelle est au carré de la tension, on a :
$10 \cdot log_{10}{\left|\frac{P}{P_0}\right|} = 20 \cdot log_{10}{\left|\frac{U}{U_0}\right|}$

Les valeurs de gain en tension (exprimées en dB(V) ou décibel-volt), sont doubles de celles du gain en puissance (exprimées en dB_W ou décibel-watt). Par exemple :

+ 3 dB(V) correspondent à un gain de tension légèrement supérieur au facteur 1,41 $(\sqrt 2)$ ((facteur 2 en puissance).
+ 6 dB(V) correspondent à un gain de tension légèrement inférieur au facteur 2 (facteur 4 en puissance).
+ 9 dB(V) correspondent à un gain de tension légèrement supérieur au facteur 2,8 (facteur 8 en puissance).
+ 10 dB(V) correspondent à un gain de tension légèrement inférieur au facteur 3,2 (facteur 10 en puissance).
+ 12 dB(V) correspondent à un gain de tension légèrement inférieur au facteur 4 (facteur 15,8 en puissance).
+ 20 dB(V) correspondent à un gain de tension de facteur 10 exactement (facteur 100 en puissance).
+ 30 dB(V) correspondent à un gain de tension légèrement supérieur au facteur 31,6 (facteur 1 000 en puissance).

Il faut noter que le niveau en bels ou décibels d’une mesure V nulle ne peut être calculé. Mais on l’exprimera conventionnellement par sa limite $-\infin$ . La formule n’a par contre pas de sens si la valeur de mesure de référence est nulle. Toutefois, la formule reste utilisée quand la mesure V est négative ou de signe contraire à la mesure de réference, si cette mesure V reste de signe constant (sinon les mesures ne peuvent pas être comparées uniquement par leur niveau en bels et décibels). Le choix de la mesure de référence et sa dimension est donc fondamental.

Il en ira de même pour l’intensité du son, quoi que d’autres facteurs rentrent en jeu, comme dans tout phénomène perceptif : augmenter une puissance sonore de + 3 dB revient à pratiquement doubler l’intensité sonore perçue.

[modifier] Applications numériques

[modifier] Corrélation du rapport signal / bruit et du nombre de bits d’information utilisables

Par exemple dans les applications de transmission de données numériques à codage binaire, il est nécessaire que l'intensité ou la tension du signal reçu S soit au moins le double de celle du bruit (c’est-à-dire le quadruple en puissance) afin de pouvoir décoder le signal avec une totale fiabilité. Il est alors nécessaire que le rapport signal / bruit soit au moins égal en permanence à + 6 dB en intensité ou tension (ou + 12 dB_W en puissance).

Si le rapport signal / bruit moyen atteint est supérieur à + 6 dB, mais n’est pas stable localement de sorte qu’on ne peut garantir ce niveau minimum de + 6 dB_W de façon permanente, il faut utiliser un système de détection et éventuellement de correction d’erreur, basé sur l’émission d’un signal supplémentaire décalé dans le temps par rapport au signal à transmettre, ce décalage permettant d’augmenter la probabilité de réception fiable d’au moins un des deux signaux (le signal utile, et le signal de détection et correction d’erreur). On peut augmenter cette probabilité (et donc la fiabilité de la transmission) en combinant plusieurs signaux de détection et correction d’erreur décalés eux aussi dans le temps (mais cela se fait au prix d’une augmentation de la bande passante nécessaire).

Pour obtenir un bit d’information supplémentaire, à puissance de bruit égale et avec le même quantum de temps de mesure (même fréquence d’échantillonnage), il est nécessaire de doubler la puissance du signal utile reçu, c’est-à-dire augmenter le niveau de ce signal de +6 dB. Il n’est pas possible d’amplifier cette puissance reçue du côté du récepteur sans doubler aussi celle du bruit.

On démontre ainsi que pour tout signal de qualité suffisante et d’intensité ou de tension S, le nombre de bits d’information séparables de façon fiable et transmis simultanément dans le même signal est directement proportionnel au rapport signal / bruit en puissance du signal reçu, chaque bit supplémentaire nécessitant 6 dB supplémentaires :

$bits(S) \approx \frac16 \cdot [S/N (dB)]$ , ou

$bits(S) \approx \frac1{12} \cdot [(S/N)^2 (dB_W)]$ .

La valeur exacte est :

$bits(S) = \frac{1}{20 \cdot \log_{10}{2}} \cdot [S/N (dB)]$ , ou

$bits(S) = \frac{1}{40 \cdot \log_{10}{2}} \cdot [(S/N)^2 (dB_W)]$ .

La formule exacte ci-dessus se simplifie, par substitution :

$bits(S) = \frac{1}{20 \cdot \log_{10}{2}} \cdot 10 \cdot \log_{10}\left|\frac{S}{S - S_0}\right|$

c’est-à-dire :

$bits(S) = \frac12 \cdot \log_{2}\left|\frac{S}{S - S_0}\right|$

ou de façon équivalente, vu de l’émetteur du signal original :

$bits(S) = \frac12 \cdot \log_{2}\left|\frac{S_0}{N} + 1\right|$

Si la formule ci-dessus ne retourne pas un nombre entier de bits, on peut utiliser l’entier immédiatement inférieur dans la conception d’un système de transmission. Mais on peut augmenter la bande passante utile, sans augmenter la bande passante nécessaire, en utilisant une grille de codage à numération non binaire permettant de mieux approcher le nombre moyen de bits caractéristique du système de transmission obtenu avec la formule ci-dessus.

Il apparait donc que le bit est une autre unité sans dimension, proportionelle au bel, et traduisant le même ordre de grandeur (avec seulement une base différente). Aussi le bit sera préféré au bel dans les applications de transmission de signaux numériques. Il est donc indispensable de ne pas confondre leurs symboles respectifs : « B » est le symbole du bel, « b » est celui du bit (le symbole de l’octet, qui est un multiple du bit est souvent « B », ce qui peut prêter à confusion ; pour cette raison, la bande passante utile d’un système de transmission numérique est toujours exprimée en bits par seconde plutôt qu’en octets par seconde.)

[modifier] Amélioration du rapport signal / bruit

Le rapport signal / bruit permet de déduire une largeur de bande utile (en bits par seconde), qui est le résultat du produit du nombre de bits simultanés séparables au sein d’un même quantum de temps (obtenu par la formule ci-dessus), et de la fréquence de quantification du signal reçu (exprimée en baud, une unité sans dimension semblable au hertz mais qui s’en distingue par le fait qu’elle est quantifiée et résulte d’un choix arbitraire au sein du capteur, non lié aux caractéristiques propres du signal lui-même). Ces résultats sont appliqués en pratique dans la conception des systèmes de transmission d’information (bus de données, modem ou autre modulateur ou codec de radiodiffusion, multiplexeur sur fibre optique...) et systèmes numériques d’enregistrement (circuit mémoire, disque dur, disque optique numérique, disque magnéto-optique...).

Pour réduire le niveau de bruit perçu du côté du récepteur, le seul moyen est l’amplification (en dB positifs) faite du côté de l’émetteur, de façon à compenser l’atténuation du signal (en dB négatifs) lors de sa transmission. Si on ne peut pas éviter l’atténuation du signal utile et l’amplification (en dB positifs) du bruit sur la totalité de la transmission, on peut utiliser des répéteurs munis de filtres correcteurs avant réamplification du signal corrigé. Cela suppose que l’émetteur initial a bien transmis un signal correcteur en plus du signal utile.

Mais l’usage de filtres correcteurs induit un délai supplémentaire de transmission, fonction directement du décalage temporel entre le signal principal et le signal de correction d’erreur tous les deus perçus par le répéteur. En effet, le répéteur ne peut réamplifier et transmettre le signal corrigé avant d’avoir reçu le signal de détection et de correction d’erreur.

Pour éviter ce décalage temporel, il est possible dans certains cas d'utiliser un second médium indépendant, si on peut montrer que le bruit aléatoire subit sur ce second médium est indépendant du bruit aléatoire subit per le médium principal. Une façon courante de limiter ce délai est d’utiliser des canaux de fréquences distincts, multiplexés en parallèle sur le même support physique. Cette technique de transmission à canaux multiples autocorrecteurs est utilisée dans les équipements répéteurs de raccordements, qui permettent de maintenir un rapport signal / bruit suffisant sur de plus grandes distances.

Par contre, un système de stockage peut rarement disposer de répéteur. Lorsque la densité de l'information sur le support est telle que la taille des informations élémentaires devient comparable aux dimensions atomiques, les fluctuations incontrôlables à cette échelle, correspondant au bruit, feront que l'on aura obligatoirement des altérations importantes obligeant le recours à des mécanismes mathématiques de détection et de correction d’erreur. C'est le cas sur tous les disques durs modernes. On remarquera que les mémoires électroniques à accès aléatoire à rafraîchissement dynamique (DRAM) nécessitent un rafraîchissement périodique qui est, littéralement, une répétition.

[modifier] Gain et bande passante d’un système idéal

On notera qu’avec un système de transmission idéal (sans bruit), le rapport signal /bruit et donc le nombre de bits séparables dans le même signal et dans le même quantum de temps de mesure est infini. Ce résultat, qui peut sembler surprenant, fait qu’à densité égale de quantification dans le temps (fréquence d’échantilonnage), la bande passante utile (en bits par seconde) peut être rendue arbitrairement grande, à condition de supprimer ou d’atténuer le plus possible de sources de bruit durant la transmission du signal, ou en les détectant et les éliminant de façon fiable à la réception du signal.

L’étude quantitative et qualitative du spectre des sources effectives de bruit (ainsi que des moyens techniques permettant de les éliminer ou les atténuer) permet donc des avancées techniques majeures, et donc une augmentation de la bande passante utile dans les systèmes de transmission numérique ou dans les systèmes numériques d’enregistrement.

Toutefois, il existe des limites quantiques à ces évolutions, selon le principe d’incertitude d’Heisenberg, par lequel toute mesure d’un signal induit une modification de ce signal, et donc l’ajout d’un signal de bruit lié directement à la perturbation quantique produite par l’instrument de mesure de ce signal.

Dans le cas des systèmes de transmission ou de stockage de données, ces perturbations sont le plus souvent induites par les amplificateurs de signaux et sont d’autant plus importantes que le gain (exprimé en bels ou décibels) des amplificateurs utilisés est important.

D’autres perturbations proviennent de l’imprécision et l’instabilité intrinsèques des filtres passe-bande utilisés, de facteurs environnementaux qui induisent leur propre bruit même en cas de bonne isolation du médium de transmission ou de stockage, et d’autres variables à caractère aléatoire (imprévisible) telles que :

l’instabilité chaotique et aléatoire des états ondulatoires atomiques liée à la température et à l’entropie inhérente du système,
les désintégrations atomiques au sein même des capteurs ou des média de transmission ou de stockage, et
les particules à haute énergie présentes partout dans l’univers, contre lesquelles il est impossible d’isoler totalement les capteurs et supports,

autant de phénomènes naturels dont on devra tenir compte au moins statistiquement, si on souhaite pousser très loin la bande passante utile.