Utilisateur:Baudalbert2

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A propos de la démo de l'équation fonctionnelle vérifiée par la fonction ζ

1)on part de l'hypothèse que le complexe s est tel que Re(s)>1.Une fois établie la relation
\Pi(s-1)\zeta(s)=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x\qquad
on définit la fonction ζ par cette formule pour tout complexe s tel que Re(s)>1.Mais comment étendre cette formule au cas Re(s)<1,car il y a un problème de convergence sur l'intégrale.
2)quand on fait apparaître la série \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^{1-s}} on doit se placer sous la condition Re(s)<0,qui est incompatible avec l'hypothèse Re(s)>1.
3)quand on évalue de deux façons l'intégrale \int_{+\infty}^{+\infty}\frac{(-x)^s}{e^x-1}\frac{\mathrm{d}x}{x} on sait que la fonction ( − x)s est mutivaluée,et le calcul choisit en fait une détermination en prenant esLog( − 1) = eiΠs ou e − iΠs,suivant que l'axe des x est approché par dessus ou par dessous.La démonstration n'indique pas les autres déterminations,qui s'obtiennent en multipliant par un coefficient e2kiΠs,et surtout que le résultat est indépendant de la détermination.
4)Le premier point qui pose problème dans la démonstration est d'établir qu'on peut définir une fonction zeta pour presque tout complexe s.La fonction zeta n'est pas définie dans le cas où Re(s)<1.Par ailleurs,des calculs formels sont conduits avec des séries ou des intégrales,sans prendre des hypothèses pour qu'elle soit convergente au moment de l'écriture.La définition de la fonction zeta(s) pour tout nombre complexe s est totalement escamotée.Riemann a-t-il démontré que la fonction définie par une série pouvait véritablement être définie sur un domaine plus étendu,où Re(s)<1,ou l'a-t-il simplement conjecturé ?



Comment se démontre la relation fonctionnelle de réflexion sur la fonction Π :
\Pi(s)\Pi(-s) = \frac{{\pi}{s}}{sin{\pi}s}
Constatons d'abord que la relation sera établie quel que soit s si elle est démontrée dans le cas 0 < s1 = Re(s) < 1.En effet si Re(s)>1,en utilisant la formule de "récurrence" :Π(s) = sΠ(s − 1) ,on peut écrire :
\Pi(s)\Pi(-s) = \frac{\Pi(-s+1)}{-s+1} s{\Pi(s-1)} donc si on suppose acquis que
\Pi(s-1)\Pi(-s+1) = \frac{{\pi}(s-1)}{sin{\pi}(s-1)},on en déduit que
\Pi(s)\Pi(-s) = -\frac{s}{s-1}\frac{{\pi}(s-1)}{sin{\pi}(s-1)} = \frac{{\pi}s}{sin{\pi}s}.
Cela montre qu'il suffit de montrer effectivement la formule pour 0 < s1 = Re(s) < 1.
Dans ce cas le produit Π(s)Π( − s) est représenté par le produit des deux intégrales convergentes
I = \int_0^\infty{e^{-y}}{y^s} {d}y\int_0^\infty{e^{-x}}{x^{-s}} {d}x
Un changement de variable donne
I = \int_0^\infty\int_0^\infty{e^{-(x+y)}}{(\frac{y}{x})^s} {d}x{d}y = \int_{{\theta}=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^\infty {e^{-r(cos{\theta}+sin{\theta})}}(tg{\theta})^s r dr d{\theta} = \int_{\theta=0}^{\frac\pi2}(tg\theta)^s d\theta \int_0^\infty r e^{-r(cos\theta+sin\theta)} dr
Or l'intégrale \int_0^\infty r e^{-ar} dr vaut \frac 1 {a^2} donc
I = \int_{\theta=0}^{\frac \pi 2} \frac 1 {(cos\theta)^2} \frac 1 {(1+tg\theta)^2} (tg\theta)^s d\theta
soit,avec le changement de variable t = tgθ
I = \int_0^\infty \frac 1 {(1+t)^2} t^s dt = s\int_0^\infty \frac {t^{s-1}} {1+t} dt
Cette forme de I doit être évaluée avec une intégrale curviligne.Soit la fonction définie sur C − R + − { − 1} par \frac {(-t)^s} {1+t}\frac 1 t en choisissant comme détermination de zs, | z | seisθ,où θ est l'argument de z appartenant à ] − π, + π[.Prenons l'intégrale curviligne suivante,le chemin partant de +\infty à 0 au-dessus de l'axe des x,tournant autour de l'origine,et retournant de 0 à +\infty au-dessous de l'axe des x.
J = \int_{+\infty}^{+\infty} \frac{(-t)^s}{1+t}\frac 1 t dt
La relation entre I et J est
J = (e^{-i\pi s}-e^{i\pi s})\int_0^\infty\frac{t^{s-1}}{1+t}dt = (e^{-i\pi s}-e^{i\pi s})\frac I s = -2isin{\pi s} \frac I s
J est alors calculée en appliquant le théorème de Cauchy:
J = \int_{|1+t|=\epsilon}\frac 1 {1+t}\frac {(-t)^s} t dt = 2i\pi \frac{(-(-1))^s} {-1} = -2i\pi
Ceci achève la preuve.
Renvoi :Fonction zêta de Riemann
Critique de l'article modifié sur la fonction ζ
L'application de la formule d'Euler-Mc Laurin:il y a une légère différence,la formule donnée comme lien interne utilise un développement avec uniquement les dérivées d'ordre impair d'une fonction f,l'application utilise les dérivées de tous les ordres.Ce n'est pas la même formule,pourquoi?Pourquoi la formule donnée dans l'article Euler-Mc Laurin contient-elle uniquement les dérivées à l'ordre impair ? Pourquoi cette formule n'est-elle pas reprise intégralement en application ?
L'utilisation de l'intégrale -\frac {\Gamma (1-s)}{2i\pi} \int_\infty^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx :l'intégrale converge si Re(s) > 1 mais qu'est-ce qui permet d'affirmer qu'elle a un sens pour les autres s?On bute toujours sur le même problème qui était apparu dans la première rédaction de l'article,qui a été mise maintenant en historique.
L'utilisation de la série alternée de Dirichlet:il s'agit d'une série alternée,d'après la définition,uniquement si s est un nombre réel.Cette série permet donc de définir ζ(s) seulement dans le cas où s est réel,dans l'intervalle ]0,1],mais non pour Re(s)>0