Discuter:Axiomes de Peano

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J'ai changé le début parce que les axiomes écrits ne sont pas ceux donnés par Peano (tout au moins dans la source à ma disposition) ; par exemple, pour Peano, les entiers commencent par 1. J'ai supprimé l'allusion au théorème de complétude parce qu'elle était fausse. Le théorème de complétude assure qu'une proposition est démontrable (au sens syntaxique) si et seulement si elle est vraie dans TOUT modèle. Ce qui était dit était en contradiction avec le théorème d'incomplétude de Gödel, première forme : pour toute théorie des entiers rausonnablement formalisée, il existe des propositions vraies (dans le modèle usuel) et non démontrables (incomplétude ou indécidabilité - il y a une subtile différence - de l'arithmétique). CD 8 fev 2005 à 13:21 (CET)

J'ai enlevé le lien avec l'analyse non-standard : il était erronné. L'analyse non-standard utilise soit une extension élémentaire de N (donc pas un modèle non-standard de l'arithmétique de Péano construit à partir du thérème d'incomplétude), soit une extension de ZF (axiomes IST de Nelson). Comme de plus, la méthode de Robinson utilise un ultraproduit (en fait une extension élémentaire sur un langage beaucoup plus large que celui de l'arithmétique : le langage contient toutes les fonctions de N dans N), je n'ai pas pensé pertinent de faire le lien entre l'analyse non standard et les modèles de Péano élémentairement équivalents à N.

J'ai aussi donné une autre méthode de constructions de modèles non standards.

CB

J'ai rétabli le lien avec l'analyse non standard, car l'idée me semblait tout de même intéressante, mais dans une version qui j'espère vous conviendra (vous êtes manifestement plus au courant que moi, n'hésitez pas à resupprimer), et fait passé votre méthode, qui est plus "standard", en premier. Proz 11 mai 2006 à 22:16 (CEST)

Heu dans le chapitre "Arithmétique de Peano" on dit qu'il y a 7 axiomes, et après on voit une liste de 8 axiomes. Erreur de frappe ou axiome qui n'en est pas un? Valvino 22 juin 2006 à 23:52 (CEST)

Il était précisé : "ainsi qu'une infinité dénombrable d'axiomes" ; c'est le schéma d'axiomes qui est numéroté 8 et qui représente une infinité d'axiomes. C'était donc correct. J'ai quand même un peu reformulé et complété. Proz 24 juin 2006 à 16:01 (CEST)