Application de la transformée de Laplace aux équations différentielles

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L'utilisation de la transformation de Laplace facilite la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants.


Considérons les relations suivantes :

\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}(f) - f(0)
\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)


Supposons que l'on veuille résoudre l'équation différentielle suivante :

\sum^n_{i=0}a_if^{(i)}=\varphi
\Leftrightarrow \sum^n_{i=0}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}\}=\mathcal{L}\{\varphi\}
\Leftrightarrow \mathcal{L}\{f\}=\frac{\mathcal{L}\{\varphi\}+\sum^n_{i=1}a_i\sum^i_{j=1}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)}{\sum^n_{i=0}a_is^i}

notons f^{(k)}(0)\, les conditions initiales.

Nous devons maintenant trouver f(t) en appliquant la transformation inverse sur \mathcal{L}\{f\}.

[modifier] Un exemple

Nous voulons résoudre : f(2)(t) + 4f(t) = sin(2t) avec les conditions initiales f(0) = 0\, et f'(0) = 0\,


Notons : \varphi(t)=\sin(2t)\,

On a alors : \mathcal{L}\{\varphi\}(s)=\frac{2}{s^2+4}


L'équation devient : s^2\mathcal{L}\{f\}-sf(0)-f^{(1)}(0)+4\mathcal{L}\{f\}=\mathcal{L}\{\varphi\}


On en déduit : \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{(s^2+4)^2}


En appliquant la transformation de Laplace inverse, nous obtenons : f(t)=\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{t}{4}\cos(2t)

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