Application contractante
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En mathématiques, une application contractante est une application k-lipschitzienne avec . Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé.
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[modifier] Théorème du point fixe pour une application contractante
Théorème du point fixe pour une application contractante — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x * de f dans E, c'est-à-dire tel que f(x * ) = x * . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn + 1 = f(xn) converge vers x * .
[modifier] Démonstration
Soit (E,d) un espace métrique non vide et soit une application contractante de rapport k, avec .
[modifier] Existence
Soit et soit la suite définie par son premier terme (x0) et la récurrence xn + 1 = f(xn) pour tout . Il s'agit d'une suite de Cauchy de E. En effet,
et par récurrence
On en déduit par application réitérée de l'inégalité triangulaire :
Ce dernier membre tend vers zéro quand n tend vers l'infini, donc on a bien une suite de Cauchy.
Comme E est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite x * . De plus de xn + 1 = f(xn), on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de f (car c'est une application lipschitzienne) que f(x * ) = x * , ce qui montre l'existence.
[modifier] Unicité
Soit x * et x * * deux points fixes de f. On a alors
Et puisque , on a alors , d'où d(x * ,x * * ) = 0, puis x * = x * * , ce qui montre l'unicité.
[modifier] Approximations successives
Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en passant à la limite pour p dans l'inégalité (*) et en utilisant la continuité de la distance d, on obtient (sans connaître exactement x * ) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:
[modifier] Applications classiques
- Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
- Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
- Résolution d'équation différentielle : théorème de Cauchy-Lipschitz
- Théorème des fonctions implicites