Anneau de Jacobson

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Un anneau de Jacobson est un anneau dont tout idéal premier est intersection d'idéaux maximaux. Comme tout idéal radiciel est intersection des idéaux premiers qui le contiennent, un anneau de Jacobson est tel que tout idéal radiciel soit intersection d'idéaux maximaux.

Par exemple, un anneau principal est de Jacobson. Les anneaux de Jacobson forment la classe d'anneaux parfaite pour fournir une version très générale du Nullstellensatz : si A est un anneau de Jacobson, tout algèbre B de type fini sur A est de Jacobson, et si \mathfrak{m} est un idéal maximal de B, l'image réciproque \mathfrak{p} de \mathfrak{m} par le morphisme A \to B est maximal, et le morphisme induit entre les corps \frac{A}{\mathfrak{p}} \to \frac{B}{\mathfrak{m}} est une extension finie de corps.

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