21 problèmes NP-complets de Karp

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Les 21 problèmes NP-complets de Karp ont marqué une étape importante de l'histoire de la théorie de la complexité. Ce sont 21 problèmes réputés difficiles de combinatoire et de théorie des graphes qui sont réductibles entre eux. C'est ce qu'a démontré Richard Karp en 1972 dans son article Reducibility Among Combinatorial Problems, de même que leur NP-complétude.

[modifier] Histoire

Un des plus importants résultats en théorie de la complexité est celui de Stephen Cook, en 1971. Dans son article, il montre le premier problème NP-complet, soit le problème SAT (voir théorème de Cook). C'est cette idée que Karp amène un bond en avant en l'appliquant à des problèmes de combinatoire et de théorie des graphes.

[modifier] Les problèmes

Les 21 problèmes sont organisés en indentations de façon à indiquer la direction de la réduction servant à prouver leur NP-complétude. Par exemple, le problème du sac à dos a été prouvé NP-complet par une réduction à partir de celui de la couverture exacte.

Le nom anglais original est en majuscules.

SATISFIABILITY : le problème SAT pour les formules en forme normale conjonctive
- CLIQUE : le problème de la clique (voir aussi le problème de l'ensemble indépendent)
  - SET PACKING : empaquetage d'ensemble
  - VERTEX COVER : le Problème de couverture de sommets
    - SET COVERING : le problème de couverture d'ensemble
    - FEEDBACK ARC SET : feedback arc set
    - FEEDBACK NODE SET : feedback vertex set
    - DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT : voir circuit hamiltonien
      - UNDIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT : voir circuit hamiltonien
- 0-1 INTEGER PROGRAMMING : voir programmation linéaire sur les entiers
- 3-SAT : voir problème 3-SAT
  - CHROMATIC NUMBER : coloration de graphe
    - CLIQUE COVER : partition en cliques
    - EXACT COVER : couverture exacte
      - MATCHING à 3 dimensions : pairage à 3 dimensions
      - STEINER TREE : voir arbre de Steiner
      - HITTING SET : ensemble intersectant
      - KNAPSACK : problème du sac à dos
        
        JOB SEQUENCING : sequençage de tâches
        
        PARTITION : problème de partition
        
        MAX-CUT : problème de coupure maximale

[modifier] Références

(en) Richard M. Karp, Reducibility Among Combinatorial Problems. In Complexity of Computer Computations, Proc. Sympos. IBM Thomas J. Watson Res. Center, Yorktown Heights, N.Y.. New York: Plenum, p.85-103. 1972.