Discuter:Équation

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Sommaire

1 Modification de l'article
- 1.1 Reprise de cette discussion
2 Refonte de l'article 'algèbre' - ancienne rédaction
3 Phrase curieuse

[modifier] Modification de l'article

Je trouve que l'article présent est très confus. Définir une équation comme un problème, distinguer équation et égalité, suggérer même que les inégalités pourraient être des équations, ... Tout cela n'est pas très sensé. Je vais proposer un article qui donne les principes généraux de la théorie des équations, ou théories des égalités, ou identités. Les aspects particuliers de certains types d'équations sont exposés dans d'autres articles, ou le seront.--Thierry Dugnolle 3 mar 2005 à 20:21 (CET)

Tout à fait d'accord... Bon courage pour la suite ! KMan 6 mar 2005 à 16:23 (CET)

Pas d'accord du tout, pour ma part. Une inéquation est une équation (mais je veux bien qu'il faille être plus clair sur ce point. En revanche, il y a une différence essentielle entre équation et inégalité, et je maintiens qu'une équation est avant tout un problème (ou une notation pour un problème). MM (pas Utilisateur:MM) 5 mai 2005 à 13:28 (CEST)

Bon. Après examen plus attentif, les modifications de Thierry Dugnolle n'ont rien à faire dans cet article. Comme annoncé sur la page de discussion du projet mathématiques, je reviens donc à la dernière version saine. Si quelqu'un n'est pas d'accord, l'historique est disponible, mais ce serait bien d'expliquer pourquoi. Je vais quand même regarder s'il y a, dans le texte que j'ai supprimé, des morceaux dont on peut tirer quelque chose.

Voir aussi Discussion Wikipédia:Projet, Mathématiques et les diverses discussions sur les contributions de Thierry Dugnolle, ici et sur Wikilivres. MM (pas Utilisateur:MM) 9 mai 2005 à 10:38 (CEST)

Je pense que le problème est plus complexe qu'il n'y paraît... Comme Thierry, je pense que faire fi de l'étymologie et dire qu'une inéquation est un cas particulier d'équation c'est un peu fort. D'autre part, le terme,« équation» se révèle avoir plusieurs sens:

- égalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs de la ou des inconnues (algèbre)
- Relation entre les coordonnées d'un point M du plan ou de l'espace caractérisant son appartenance à une courbe ou une surface (géométrie)
- Ecriture symbolique d'une réaction chimique (chimie)
- Relation existant entre les coordonnées d'un point et un temps (équation du mouvement)
- Ensemble des caractéristiques d'un individu (équation personnelle)

Je ne vois pas comment tout mettre sur une même page....Une suggestion: créer une page d'homonymie et développer à part un article sur équation (algèbre), un autre sur équation (philosophie) pour TD, et laisser les amateurs créer d'autres pages sur d'autres acceptions du même mot. Qu'en penses-tu ? Pour ma part, je suis sur d'autre projet et t'abandonne lâchement.HB 9 mai 2005 à 13:32 (CEST)

Le fait qu'une inéquation est une équation, pour moi, c'est clairement le cas, mais s'il y a des gens que ça choque qui trouvent une formulation plus claire, je n'y vois pas d'inconvénient. Je voudrais quand même souligner que l'article actuel précise que l'on préfère inéquation pour une inégalité. Après, il y a d'autres sens, c'est sûr, principalement celui de formule, expression. J'ai un peu changé la première phrase pour qu'elle précise bien que l'article parle, en l'état, des équations en maths.

En revanche, je pense que les trois premiers sens que tu cites cadrent assez bien avec l'article actuel, et même que le fait de définir une équation comme un problème (qui n'est pas de moi, hein ! c'est en fait la seule définition du concept que j'aie jamais rencontrée) capture correctement ce qu'elles ont en commun. (Pour revenir dans ce cadre sur le cas des inéquation, si je parle de l'équation d'un ensemble semi-algébrique, il s'agit en fait d'un système d'inéquations...)

MM (pas Utilisateur:MM) 10 mai 2005 à 23:33 (CEST)

[modifier] Reprise de cette discussion

Je ravive cette ancienne discussion, ayant été attiré sur la page équation suite au débat sur Wikipédia:Pages à supprimer/Théorie des équations. J'ai moi aussi été très surpris de lire qu'une inéquation est un cas particulier d'équation et qu'une équation ne serait pas ainsi forcément une égalité. Si l'on m'avait demandé d'écrire l'article, la première phrase aurait commencé par « Une équation est une égalité… ». L'article actuel est contraire à l'étymologie, comme rappelé par HB, et me semble contraire à la « définition » usuelle ; je mets le terme entre guillemets car cela n'est pas une définition au sens mathématique du terme, et que qualifier ou non une égalité d'équation relève surtout du contexte (lien avec la résolution d'un problème, recherche d'inconnues, comme c'est mentionné dans l'article), d'où le flou qui est à l'origine du problème. Maintenant, j'avoue ne pas avoir fait de recherche précise sur ce mot et m'appuyer sur ce qui n'est que mon point de vue subjectif. Mais justement, le seul à défendre la définition actuelle, MM, le fait également sur un ton très POV : « pour moi, c'est clairement le cas », etc. Quelqu'un peut-il fournir des sources extérieures à Wikipédia étayant un point de vue ou l'autre ? Je préviens MM de la reprise de la discussion et espère que d'autres y contribueront. --DSCH 2 janvier 2007 à 14:42 (CET)

Pour en revenir au fait qu'on puisse parler d'équation pour une inégalité ou un système d'inégalités définissant un ensemble, cela me semble relever du fait qu'on peut toujours définir cet ensemble à l'aide d'une égalité ; par exemple, dans le plan $\mathbb{R}^2$ , le demi-plan $\mathcal{P}$ d'« équation » (brrr, ça sonne vraiment bizarre mais bon) $x\geq 0$ peut être défini par l'égalité $\mathcal{P}=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2,x\geq 0\}$ . Par ce qui me semble un simple raccourci abusif, on parle ainsi parfois d'équation d'un ensemble au lieu de système d'équations ou d'inéquations (pour une inéquation seule comme dans l'exemple que j'ai donné, c'est peu usité car ça ne raccourcit pas grand chose !), mais cela ne me semble pas remettre en cause la définition même d'une équation en tant qu'égalité. L'emploi du terme par extension dans d'autres situations ne me semble pas relever du début de l'article de base sur le sujet (on peut en revanche en parler dans des articles spécialisés). --DSCH 2 janvier 2007 à 15:06 (CET)

Je définirais une équation comme une identité faisant intervenir des variables ou des inconnues. L'article actuel est doublement mensonger car oublie qu'une équation peut être utilisée pour définir implicitement un espace (par exemple, équation d'une conique, équation d'un ellipsoïde, ...).

Il n'est évidemment pas évident de rédiger un article complet ; l'article actuel n'est pas terrible. Ektoplastor 2 janvier 2007 à 16:05 (CET)

pas tout à fait d'accord avec la mention d'"identité" qui me semble plutôt être employé au sens des "identités remarquables" : relation toujours vraie (dès lors que les objets sont du bon type, ce qui est lapartie tacite). Pour moi une équation est une égalité formelle. Pour le demi plan $\mathcal{P}$ ci-dessus son équation me semble être plutôt signe(x)=1. Bon c'est le demi plan ouvert mais vous voyez ce que je veux dire : toute inéquation peut être vue à peu de frais comme une équation, c'est vrai mais peu opérant. Peps 7 janvier 2007 à 11:25 (CET)

Merci de m'avoir fait signe. Comme je crois l'avoir dit plus haut — mais je n'ai sans doute pas été assez clair — je ne suis pas opposé à ce que l'on enlève la mention des inéquations. En fait, je viens de le faire. Je ne tiens pas spécialement non plus au mot problème : simplement, il n'est pas facile de définir ce que c'est qu'une équation sans dire quelque chose de complètement creux. Mais je n'ai pas modifié cette partie-là parce que je ne saurais pas par quoi la remplacer. La définition actuelle ne me paraît ni plus ni moins « juste » que (par exemple) celles de Peps et Ektoplastor ci-dessus, et je n'ai rien à proposer pour décider entre elles (même si, personnellement, je la trouve plus parlante, c'est tout ce que je voulais dire dans le passage qui semble avoir gêné DSCH).

En revanche, je persiste à penser que la version [1] (d'où est partie la discussion) était encore moins adaptée que l'article actuel. À ce sujet, ma critique (peut-être un peu véhémente ;->) de la formule « une équation est une égalité » se rapporte au sens développé dans cette fameuse version de l'article, pas au mot égalité en général.

Bon, j'ai l'impression de ne toujours pas être clair, mais tant pis. En résumé : n'hésitez pas à modifier l'article comme bon vous semble, ça ne pourra guère que l'améliorer ! MM (pas Utilisateur:MM)

Quelques remarques supplémentaires...

Je viens de faire quelques autres changements pour tenter d'améliorer les deux premiers paragraphes. Je ne sais pas si c'est mieux, mais je trouve ça plus utile que d'en discuter sans fin ici. N'hésitez pas à critiquer, mais surtout à modifier/reverter/... si vous le jugez utile.
Et puis dans le cadre de la quête d'une bonne définition : une chose me gêne dans la remarque de DSCH, « le demi-plan $\mathcal{P}$ d'« équation » [...] $x\geq 0$ peut être défini par l'égalité $\mathcal{P}=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2,x\geq 0\}$ ». Ce qui me semble important dans la notion d'équation d'un ensemble, c'est qu'il s'agit d'une définition implicite. La façon dont je lis ton égalité, c'est que tu ne fait que retarder le problème : tu définis $\mathcal{P}$ par $\{(x;y)\in\mathbb{R}^2,x\geq 0\}$ , mais ce dernier (oui, c'est le même objet...), tu le définis bien par son « équation », c'est-à-dire une propriété caractéristique de ses éléments, $x\geq 0$ !

MM (pas Utilisateur:MM) 9 janvier 2007 à 22:51 (CET)

[modifier] Refonte de l'article 'algèbre' - ancienne rédaction

Comme annoncé dans la discussion de l'article 'algèbre', je reproduis ici l'ancienne rédaction, dont une partie du contenu pourrait être reprise dans 'équation', ou 'équation algébrique', ou 'équation polynomiale'... Je confirme cependant mes plus grandes réserves sur ce texte... KMan 7 déc 2004 à 09:37 (CET)

[modifier] Formes d'équation algébriques

Il existe beaucoup de formes d'équations algébriques. Certaines d'entre-elles sont listées ci-dessous :

Les équations polynômiales
- Les équations linéaires
- Les équations quadratiques
- Les équations cubiques
Les équations exponentielles
Les équations trigonométriques

[modifier] Les équations polynômiales

[modifier] Les équations linéaires

Les équations linéaires sont écrites sous la forme :

$y=mx+b\,\!$ .

Lorsqu'une équation linéaire est représentée graphiquement, elle produit une droite.

y est la solution de l'équation (sa réponse en quelque sorte).
m est le coefficient de la variable, il représente la pente. La pente est la raideur de la droite.
x est la variable dans l'équation. La variable est la partie qui peut être changée. Lorsque x change, y change aussi. La droite représentative montre quelle est la valeur de y pour chaque valeur de x. Elle est appelée binôme et est constituée de deux monômes.
b est la constante ajoutée à l'équation. Dans l'expression 2x + 3, b = 3. b représente aussi l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées sur le graphe.

[modifier] Les équations quadratiques

Les équations quadratiques sont écrite sous la forme :

$y=ax^2+bx+c\,\!$

Elles sont appelées trinômes. Lorsqu'une équation quadratique est représentée graphiquement, elle produit une courbe appelée une parabole. Elles ont 0, 1, ou deux intersections avec l'axe des abscisses suivant les valeurs des coefficients.

a est le coefficient de la variable élevée au carré
b est le coefficient de la variable
c est la constante. Il a le même rôle que b dans une équation linéaire

[modifier] Les équations cubiques

Les équations cubiques sont écrites sous la forme

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d\,\!$ .

Sous cette forme, elles ont une ou trois intersections avec l'axe des abscisses suivant les valeurs des coefficients. La courbe démarre du bas, à gauche, se stabilise, s'incurve en descendant, se stabilise, s'incurve en remontant en haut à droite.

a est le coefficient de la variable élevée au cube
b est le coefficient de la variable élevée au carré
c est le coefficient de la variable
d est la constante

[modifier] Les équations exponentielles et logarithmiques

Les équations exponentielles sont de la forme :

$y = m^x + b\,\!$ .

Les équations logarithmiques sont de la forme : $y = mln x + b\,\!$ où ln représente le logarithme naturel.

[modifier] Equations trigonométriques

Les équations trigonométriques sont écrites sous la forme :

$y = m\sin x + b\,\!$ .

$y = m\cos x + b\,\!$ .

$y = m\tan x + b\,\!$ .

[modifier] Factorisation de trinômes

[modifier] Factorisation simple

Les trinômes sont des expressions algébriques constituées de trois termes différents, tels que :

$x^2 + 3x + 2\,\!$

Ils peuvent être factorisés de la manière suivante. Nous factorisons l'expression en utilisant deux paires de parenthèses, chacune d'elles consistant en deux termes, où se trouvent les premiers, ceux du dehors, ceux du dedans, et les derniers nombres des deux paires de parenthèses multipliées ensemble égalent le trinôme. C'est-à-dire,

$x^2 + 5x + 6\,\!$

est équivalent à

(x + 3) (x + 2)

Les premiers (x fois x) + en dehors (x fois 2) + en dedans (3 fois x) + les derniers (3 fois 2) = le trinôme (x² + 5x + 6).

Les derniers nombres de chaque paire de parenthèses ont une autre relation. Lorsqu'ils sont multipliés ensemble, ils sont toujours égaux au dernier nombre (3 fois 2 égale 6), et lorsqu'ils sont ajoutés, ils sont égaux au coefficient de la variable (3 plus 2 égale 5). Ceci parce qu'ils sont tous les deux multipliés par la variable puis ajoutés.

[modifier] Deux variables

Quelquefois, nous obtenons des expressions telles que :

$3x^2 + 8xy + 4y^2\,\!$ .

Dans cette situation, la forme factorisée ressemblera à : (3x + 2y) (x + 2y). 3x fois x égale 3x², 3x fois 2y égale 6xy, 2y fois x égale 2xy, et 2y fois 2y égale 4y². Cette fois, les coefficients de x ont été multipliés avec le coefficient de x², et le même avec x.

[modifier] La méthode symbolique

La méthode symbolique est la manière de calculer et d'enlever une variable quand elle se trouve de part et d'autre de l'équation. La règle d'or est d'effectuer ces opérations des deux côtés de l'équation en utilisant soit l'opposé soit l'inverse. C'est-à-dire :

3x + 25 = 5x + 5

La première étape est d'isoler la variable. En utilisant l'opposé de 3x, c'est-à-dire en soustrayant 3x des deux côtés, nous obtenons

3x – 3x + 25 = 5x – 3x + 5

25 = 2x + 5

La deuxième étape est d'obtenir seulement la variable sur un seul côté. Pour ce faire, nous utilisons l'opposé de 5, c'est-à-dire nous soustrayons 5 des deux côtés pour obtenir

25 – 5 = 2x + 5 – 5

20 = 2x

La dernière étape est d'obtenir le x débarassé de son coefficient. Pour cela, nous allons utiliser l'inverse du coefficient (1/2), c'est-à-dire diviser les deux côtés de l'équation par 2 :

(1/2)(20) = (1/2)(2x)

10 = x

Le mot algèbre est aussi utilisé pour diverses structures algébriques :

[modifier] Voir aussi

Diophante, le « père de l'algèbre »
Mohammed al-Khwarizmi
Analyse
Algèbre linéaire

[modifier] Liens externes

Modèle:Livre

[modifier] Phrase curieuse

L'article dit: Cependant, n'importe quel problème mathématique peut être vu comme une équation, sans toujours être exprimé explicitement sous cette forme..

Je ne suis qu'au début de mes études mathématiques (je rentre en L2) mais cette affirmation me parait vraiment curieuse, non? A supprimer??? Valvino 22 août 2007 à 18:33 (CEST)